Masa y energía en relatividad general

Una espacio-tiempo estacionario es aquel que ninguno de los coeficientes métricos ${\displaystyle g_{mu\nu },}$ es función del tiempo. La métrica de Schwarzschild de un agujero negro o la métrica de Kerr de un agujero negro en rotación son ejemplos comunes de espacios-tiempo estacionarios. Por definición, un espaciotiempo estacionario presenta simetría de traslación temporal. Esto se llama técnicamente un vector de Killing de tipo tiempo. Como el sistema tiene una simetría de traslación temporal, el teorema de Noether garantiza que existe una energía conservada. Dado que un sistema estacionario también tiene un marco de reposo bien definido en el que su momento puede considerarse nulo, la definición de la energía del sistema también define su masa. En relatividad general, esta masa se denomina masa de Komar del sistema. La masa de Komar sólo puede definirse para sistemas estacionarios. La masa de Komar también puede definirse mediante una integral de flujo. Esto es similar a la forma en que la ley de Gauss define la carga encerrada por una superficie como la fuerza eléctrica normal multiplicada por el área. La integral de flujo utilizada para definir la masa de Komar es ligeramente diferente de la utilizada para definir el campo eléctrico, sin embargo, la fuerza normal no es la fuerza real, sino la "fuerza en el infinito". Para más detalles, véase el artículo principal sobre la masa de Komar. De las dos definiciones, la descripción de la masa de Komar en términos de una simetría de traslación temporal es la que proporciona una visión más profunda.

Si un sistema que contiene fuentes gravitacionales está rodeado por una región de vacío infinita, la geometría del espacio-tiempo tenderá a aproximarse al geometría de Minkowski de la relatividad especial en el infinito. Este tipo de espacio-tiempo se conoce como espacio-tiempo "asintóticamente plano". Para sistemas en los que el espacio-tiempo es asintóticamente plano, pueden definirse la masa ADM y la energía, el momento lineal y la masa de Bondi. En términos del teorema de Noether, la energía, el momento lineal y la masa ADM se definen por las simetrías asintóticas en el infinito espacial, y la energía, el momento y la masa de Bondi se definen por las simetrías asintóticas en el infinito nulo. Nótese que la masa se calcula como la longitud del cuadrivector de energía-momento, que puede considerarse como la energía y el momento del sistema "en el infinito". La energía ADM se define a través de la siguiente integral de flujo en el infinito.[1] Si un espacio-tiempo es asintóticamente plano, esto significa que cerca del "infinito" la métrica tiende ser la del espacio plano. Las desviaciones asintóticas de la métrica lejos del espacio plano pueden ser parametrizadas por

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$

donde ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ es la métrica del espacio plano. La energía ADM viene dada entonces por una integral sobre una superficie, ${\displaystyle S}$ en el infinito

${\displaystyle P^{0}={1 \over 16\pi G}\int \left(\partial ^{k}h_{jk}-\partial ^{j}h_{kk}\right)d^{2}S_{j},}$

donde ${\displaystyle S_{j}}$ es la normal que apunta hacia afuera de ${\displaystyle S}$. Se asume el convenio de suma de Einstein para los índices repetidos, pero la suma sobre k y j sólo corre sobre las direcciones espaciales. El uso de derivadas ordinarias en lugar de derivadas covariantes en la fórmula anterior se justifica por la suposición de que la geometría asintótica es plana.

Se puede obtener alguna intuición para la fórmula anterior de la siguiente manera. Imaginemos que tomamos la superficie ${\displaystyle S}$, como una superficie esférica de modo que la normal apunta radialmente hacia fuera. A grandes distancias de la fuente de energía, ${\displaystyle r}$, se espera que el tensor ${\displaystyle h_{ij}}$ decaiga como ${\displaystyle r^{-1}}$ y la derivada con respecto a ${\displaystyle r}$ lo convierte en ${\displaystyle r^{-2}}$ El área de la esfera a gran radio también crece precisamente como ${\displaystyle r^{2}}$ y por tanto se obtiene un valor finito para la energía.

También es posible obtener expresiones para el momento en un espaciotiempo asintóticamente plano. Para obtener tal expresión se define

${\displaystyle H^{\mu \alpha \nu \beta }=-{\bar {h}}^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }-\eta ^{\mu \nu }{\bar {h}}^{\alpha \beta }+{\bar {h}}^{\alpha \nu }\eta ^{\mu \beta }+{\bar {h}}^{\mu \beta }\eta ^{\alpha \nu }}$

donde

${\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{1 \over 2}\eta _{\mu \nu }h_{\alpha }^{\alpha }}$

Entonces el momento se obtiene por una integral de flujo en la región asintóticamente plana

${\displaystyle P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}}$

Obsérvese que la expresión para ${\displaystyle P^{0}}$ obtenida a partir de la fórmula anterior coincide con la expresión dada anteriormente para la energía ADM como puede comprobarse fácilmente utilizando la expresión para ${\displaystyle H^{\mu \alpha \nu \beta }}$.

En el límite newtoniano, para sistemas cuasiestáticos en espacio-tiempos casi planos, se puede aproximar la energía total del sistema sumando los componentes no gravitacionales de la energía del sistema y luego restando la energía de enlace gravitacional "newtoniana".

Traduciendo la afirmación anterior al lenguaje de la relatividad general, decimos que un sistema en el espacio-tiempo casi plano tiene una energía total no gravitacional E y un momento P dado por:

${\displaystyle E=\int _{v}T_{00}dV\qquad P^{i}=\int _{V}T_{0i}dV}$

Cuando las componentes del vector de momento del sistema son cero, es decir, Pⁱ = 0, la masa aproximada del sistema es justa (E+E_binding)/c², E_binding siendo un número negativo que representa la energía de enlace gravitatoria newtoniana.

Por lo tanto, cuando uno asume que el sistema es cuasi-estático, uno asume que no hay energía significativa presente en forma de "ondas gravitacionales". Cuando uno asume que el sistema está en el espacio-tiempo "casi plano", uno asume que los coeficientes métricos son esencialmente minkowskiano dentro de un error experimental aceptable.

Se puede ver que las fórmulas para la energía total y el momento surgen naturalmente en este límite de la siguiente manera.[1] En el límite linealizado, las ecuaciones de la relatividad general se pueden escribir en la forma

${\displaystyle \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha \nu \beta }=16\pi GT^{\mu \nu }}$

En este límite, el momento de energía total del sistema se da simplemente integrando el tensor de tensión en una rebanada espacial.

${\displaystyle P^{\mu }=\int T^{\mu 0}d^{3}x}$

Pero usando las ecuaciones de movimiento, uno también puede escribir esto como

${\displaystyle P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha 0\beta }d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x}$

donde la suma sobre j corre sólo sobre las direcciones espaciales y la segunda igualdad utiliza el hecho de que ${\displaystyle H^{\mu \alpha \nu \beta }}$ es antisimétrica en ${\displaystyle \nu }$ y ${\displaystyle \beta }$.

Finalmente, se usa la ley de Gauss para convertir la integral de una divergencia sobre la rebanada espacial en una integral sobre una esfera gaussiana.

${\displaystyle {1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}}$

que coincide precisamente con la fórmula para el momento total dada anteriormente.

• Einstein, Albert (1905). «¿Es la Inercia de un cuerpo dependiente de su contenido de Energía?». Annalen der Physik 18: 639-641. (Texto en español)
• Ashtekar, Abhay; Magnon-Ashtekar, Anne (1979). «On conserved quantities in general relativity». Journal of Mathematical Physics (AIP Publishing) 20 (5): 793-800. Bibcode:1979JMP....20..793A. ISSN 0022-2488. doi:10.1063/1.524151.
• Komar, Arthur (1959). «Covariant Conservation Laws in General Relativity». Phys. Rev. 113 (3): 934-936. Bibcode:1959PhRv..113..934K. doi:10.1103/PhysRev.113.934.
• Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. W. (15 de marzo de 1960). «Canonical Variables for General Relativity». Physical Review (American Physical Society (APS)) 117 (6): 1595-1602. Bibcode:1960PhRv..117.1595A. ISSN 0031-899X. doi:10.1103/physrev.117.1595.
• Arnowitt, Richard; Stanley Deser & Charles W. Misner (1962), "The dynamics of general relativity", in Witten, L., Gravitation: An Introduction to Current Research, Wiley, pp. 227–265
• Bondi, H.; Van Der Burg, M. G. J.; Metzner, A. W. K. (21 de agosto de 1962). «Gravitational waves in general relativity, VII. Waves from axi-symmetric isolated system». Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 269 (1336): 21-52. Bibcode:1962RSPSA.269...21B. ISSN 2053-9169. S2CID 120125096. doi:10.1098/rspa.1962.0161.
• Held (1980). General Relativity and Gravitation, One Hundred Years After the Birth of Einstein, Vol 2. Plenum Press. ISBN 978-0-306-40266-1.
• Szabados, László B. (2004). «Quasi-Local Energy-Momentum and Angular Momentum in GR». Living Rev. Relativ. 7 (1): 4. Bibcode:2004LRR.....7....4S. PMC 5255888. PMID 28179865. doi:10.12942/lrr-2004-4.
• Townsend, P. K. (1997), Black Holes (Lecture notes), arXiv:gr-qc/9707012
• Wald, Robert M. (1984), General Relativity, Chicago: University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2
• Nakumura, Tadas K. (2005). «Covariant thermodynamics of an object with finite volume». Physics Letters A 352 (3): 175-177. Bibcode:2006PhLA..352..175N. S2CID 14211373. arXiv:physics/0505004. doi:10.1016/j.physleta.2005.11.070.
• Carlip, S. (1999). «Kinetic Energy and the Equivalence Principle». American Journal of Physics 66 (5): 409-413. Bibcode:1998AmJPh..66..409C. S2CID 119052544. arXiv:gr-qc/9909014. doi:10.1119/1.18885. Parámetro desconocido |citeseerx= ignorado (ayuda)
• "If you go too fast, do you become a black hole?" Updated by Don Koks 2008. Original by Philip Gibbs 1996. The Original Usenet Physics FAQ
• Olson, D.W.; Guarino, R. C. (1985). «Measuring the active gravitational mass of a moving object». American Journal of Physics 53 (7): 661. Bibcode:1985AmJPh..53..661O. doi:10.1119/1.14280.

• "Is energy conserved in General Relativity?

• On the Proof of the Positive Mass Conjecture in General Relativity