Grupo de Poincaré

El grupo de Poincaré ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ es una extensión del grupo de Lorentz ${\displaystyle O(1,3)\,}$, más concretamente es el producto semidirecto con el grupo de traslaciones del espacio de Minkowski:

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes O(1,3)\subset GL(\mathbb {R} ^{5})}$

Por lo que cualquier momento del grupo de Poincaré puede representarse como:

${\displaystyle T_{\pi }={\begin{pmatrix}\Lambda _{00}&\Lambda _{10}&\Lambda _{20}&\Lambda _{30}&s_{0}\\\Lambda _{01}&\Lambda _{11}&\Lambda _{21}&\Lambda _{31}&s_{x}\\\Lambda _{02}&\Lambda _{12}&\Lambda _{22}&\Lambda _{32}&s_{y}\\\Lambda _{03}&\Lambda _{13}&\Lambda _{23}&\Lambda _{33}&s_{z}\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Donde:

${\displaystyle (\Lambda _{ij})\,}$ son un conjunto de componentes matriciales que definen un elemento del grupo de Lorentz.

${\displaystyle (s_{x},s_{y},s_{z})\,}$ pueden interpretarse como un vector espacial, que permite incluir a las traslaciones espaciales dentro del grupo.

${\displaystyle s_{0}\,}$ puede interpretarse como una "traslación" temporal.

• El grupo de Poincaré es un grupo de Lie no compacto 10-dimensional.
• De acuerdo con el programa de Erlangen la geometría del espacio de Minkowski está definida por el grupo de Poincaré.
• El grupo de Poincaré contiene al subgrupo abeliano formado por las traslaciones que además constituyen un subgrupo normal mientras que el grupo de Lorentz es un subgrupo, el estabilizador de un punto.
• De la propiedad anterior se sigue que el grupo de Poincaré es un producto semidirecto de las traslaciones y las transformaciones de Lorentz.
• Sus representaciones irreducibles unitarias de energía positiva se indexan por dos parámetros escalares, que en física se pueden interpretar como la masa (número no negativo) y el espín (número entero o semientero), y se asocia a las partículas en mecánica cuántica.
• El espacio de Minkowski se considera como un espacio homogéneo para el grupo.

En la forma de componentes, el álgebra de Lie del grupo de Poincaré satisface:

• ${\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0}$
• ${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }}$
• ${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }}$

donde los ${\displaystyle P_{\mu }}$ son los generadores de las traslaciones y ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ son los generadores de las transformaciones de Lorentz.

• Clasificación de Wigner
• Henri Poincaré
• Álgebra de Lie Ortogonal Generalizada
• Más rápido que la luz
• Anexo:Glosario de relatividad