Subgrupo normal

En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido de un grupo es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento y cada , el elemento está en . Se denota .

Definición

Un subgrupo de un grupo se llama subgrupo normal del grupo si las clases laterales por la izquierda y por la derecha definidas por cualquier coinciden, es decir, .

Definiciones equivalentes

Sea un grupo y un subgrupo. Equivalen:

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
Demostración

1.2.

Como , entonces . Por tanto, .

2.3.

Es claro.

3.4.

Sea . Entonces, . Por tanto, y se tiene la igualdad.

4.1.

Sea y .

.

Además, se tiene que .

Por tanto, .

Propiedades

  • y son siempre subgrupos normales de . Si éstos son los únicos subgrupos normales de , se dice que es simple.
  • Los subgrupos normales de cualquier grupo forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son y , el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es su yuxtapuesto.
  • Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.
  • Si es de índice 2 () entonces es normal en .
  • El centro de un grupo es normal en el grupo.

Grupo cociente

Sea un grupo y . Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de en , y lo denotaremos .

Podemos definir en la operación (esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar).

Llamamos grupo cociente de sobre al grupo , formado por el conjunto de clases laterales de en y operación definida como .

  • La proyección canónica es un homomorfismo de grupos.

Grupos normales y homomorfismos

  • Sean y grupos y sea un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de es normal en : . De hecho, un subgrupo es normal si y sólo si existe un homomorfismo de grupos tal que .

Referencias

    Véase también

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