Normalizador

En teoría de grupos, el normalizador de un subconjunto S de un grupo G es el mayor subgrupo de G para el cual la acción de conjugación deja invariante a S. Cuando el conjunto consta de un solo elemento, se habla entonces de un centralizador.

Definición

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, el normalizador de S está definido por

En donde es el conjunto definido como .

En particular, si S es un subgrupo de G, entonces N(S) es el mayor subgrupo de G en el cual S es un subgrupo normal.

Propiedades

El resultado más importante es que el normalizador de un subconjunto siempre es un subgrupo.

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, entonces el normalizador N(S) es un subgrupo de G.

Demostración
Para demostrar que es un subgrupo, basta demostrar que el producto donde son dos elementos cualesquiera de también es elemento de , esto es, hayque demostrar que para todo el elemento también pertenece a S.

Primero demostramos que si entonces ya que para cualquier existe un que satisfaga , pero entonces , es decir,

Procedemos ahora a la prueba principal. Desarrollando

observamos que a está conjugando al elemento , el cual a su vez es la conjugación por de s.

Pero como , entonces y por tanto . Denotemos por a y entonces la expresión original se reescribe como que, al estar a en , también pertenece a S.

Concluimos entonces que y por tanto es un subgrupo.

Un caso de particular interés es cuando el subconjunto es al mismo tiempo un subgrupo.

Si H es un subgrupo de G, entonces H es un subgrupo normal de N(H). Además, N(H) es el mayor subgrupo con esta propiedad.

Demostración
Si H es un subgrupo de G, entonces el normalizador es precisamente el conjunto de todos los elementos g del grupo para los cuales , que es precisamente la condición que define a un subgrupo normal.

Como consecuencia del teorema anterior, un subgrupo H de G es normal en G si y sólo si N(H) = G.

Si H es un subgrupo de G entonces el número de clases conjugadas de H en G es igual al índice del normalizador en el grupo: y por tanto divide al orden del grupo cuando éste es finito.

Además, dos clases de conjugación coinciden, , si y sólo si

  • Según Lang, se consideran estas dos más:
  • Si K es un subgrupo del normalizador N(H), KH es un grupo y H es normal en KH.
  • El normalizador de H es el mayor subgrupo de G en el que H es normal.

Ejemplos

  • El normalizador de cualquier subgrupo normal es el grupo completo. En particular N(<e>) y N(G) son ambos iguales a G.
  • El subgrupo H de generado por el ciclo no es normal, por tanto su normalizador no es el grupo completo de permutaciones. En este caso, el normalizador de H es el subgrupo generado por las permutaciones .

Referencias

    • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 1 (2 edición), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1..
    • Fraleigh, John (1987), Álgebra abstracta 1 (1 edición), Addison-Wesley iberoamericana, ISBN 0-201-64052-X..

    Bibliografía

    • Baumslag, B.; Chandler, B.: Teoría de grupos (1972), Mc Graw-Hill de México, impreso en Colombia.
    • Zaldívar, Felipe: Introducción a la teoría de grupos (2009), Sociedad Matemática Mexicana-Reverté ediciones.
    • Lang, Serge: Álgebra (1973), Aguilar, Madrid, primera reimpresión.
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