Conjugación (teoría de grupos)

En un grupo, se puede definir la relación:

${\displaystyle \forall a,b\in G:a\sim b\Leftrightarrow b=g^{-1}\circ a\circ g}$ para algún ${\displaystyle g\in G}$.

tal que ${\displaystyle a}$ está relacionado con ${\displaystyle b}$ precisamente si ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son conjugados. La relación así definida es una relación de equivalencia.[1]

Por tanto, los elementos conjugados de un elemento ${\displaystyle a}$ forman una clase, llamada clase de conjugación de ${\displaystyle a}$:[2]

${\displaystyle [a]=\{x^{-1}ax:x\in G\}}$.

Como la conjugación por un elemento fijo del grupo es un isomorfismo de grupos, cada dos elementos de una misma clase de conjugación son indistinguibles desde el punto de vista de la estructura de grupo. En particular, tienen el mismo orden.

Considérese la acción de ${\displaystyle G}$ sobre sí mismo

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\phi$ :&G\times G&\longrightarrow &G\\&(g,a)&\mapsto &b=g^{-1}\circ a\circ g\end{array}}}

que viene dada por la conjugación sucesiva por los diferentes elementos ${\displaystyle g\in G}$. Bajo este punto de vista:

• la órbita de un elemento ${\displaystyle a}$ bajo la acción ${\displaystyle \phi }$ es la clase de conjugación de dicho elemento.
• el estabilizador de un subconjunto bajo la acción ${\displaystyle \phi }$ es el normalizador de dicho subconjunto. Cuando se trata de un único elemento ${\displaystyle a}$ decimos que es el centralizador de ${\displaystyle a}$.

Dado un subconjunto ${\displaystyle S\subseteq G}$, se define el conjugado de ${\displaystyle S}$ por un elemento ${\displaystyle g\in G}$ como el subconjunto:

${\displaystyle g^{-1}Sg=\{g^{-1}\circ s\circ g:s\in S\}}$

En particular, si el subconjunto original es un subgrupo ${\displaystyle H\leqslant G}$, entonces el conjugado de ${\displaystyle H}$ por cualquier elemento ${\displaystyle g\in G}$ es también un subgrupo.