Teoría de grupos

Las raíces históricas de la teoría de grupos son la teoría de las ecuaciones algebraicas, la teoría de números y la geometría. Euler, Gauss, Lagrange, Abel y Galois fueron los creadores que ponen los cimientos de esta rama del álgebra abstracta. Galois es reconocido como el primer matemático que relacionó esta teoría con la teoría de cuerpos, de lo que surgió la teoría de Galois. Además, usó la denominación de grupo o " inventó el término [...]" según E.T.Bell. Otros importantes matemáticos que contribuyen son Cayley, Emil Artin, Emmy Noether, Peter Ludwig Mejdell Sylow, A.G. Kurosch, Iwasawa entre muchos otros. Fue Walter Dick quien en 1882, dio la moderna definición de grupo y fue "el primero en definir el grupo libre engendrado por un número finito de generadores", según Nicolás Bourbaki. A fines del siglo XIX, Frobenius definió la noción de grupo abstracto con un sistema de axiomas.

Los primeros resultados sobre grupos de permutaciones fueron obtenidos por Lagrange, Ruffini, y Abel en su búsqueda de soluciones generales de ecuaciones polinómicas de alto grado. Évariste Galois acuñó el término "grupo" y estableció una conexión, ahora conocida como teoría de Galois, entre la naciente teoría de grupos y teoría de campos. En geometría, los grupos adquirieron importancia en geometría proyectiva y, más tarde, en geometría no euclidiana. El programa de Erlangen de Felix Klein proclamó la teoría de grupos como principio organizador de la geometría.

Galois, en la década de 1830, fue el primero en emplear grupos para determinar la resolubilidad de ecuaciones polinómicas. Arthur Cayley y Augustin Louis Cauchy impulsaron estas investigaciones creando la teoría de los grupos de permutaciones. La segunda fuente histórica de los grupos proviene de situaciones geométricas. En un intento de abordar posibles geometrías (como la euclídea, la hiperbólica o la geometría proyectiva) utilizando la teoría de grupos, Felix Klein inició el programa de Erlangen. Sophus Lie, en 1884, empezó a utilizar grupos, ahora llamados grupos de Lies, vinculados a problemas de analítica. En tercer lugar, los grupos se utilizaron, primero implícita y más tarde explícitamente, en teoría algebraica de números.

El diferente alcance de estas primeras fuentes dio lugar a diferentes nociones de grupos. La teoría de grupos se unificó alrededor de 1880. Desde entonces, el impacto de la teoría de grupos ha sido cada vez mayor, dando lugar al nacimiento del álgebra abstracta a principios del siglo XX, la teoría de la representación, y muchos más dominios derivados influyentes. La clasificación de grupos simples finitos es un vasto trabajo de mediados del siglo XX, que clasifica todos los finito grupo simple.

Un grupo ${\displaystyle (G,\circ )}$ es un conjunto ${\displaystyle G}$ en el que se ha definido una operación binaria interna ${\displaystyle \circ }$, que satisface los siguientes axiomas:

1. Asociatividad: ${\displaystyle \forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}$
2. Elemento neutro: ${\displaystyle \exists e\in G:e\circ a=a\circ e=a}$
3. Elemento simétrico: ${\displaystyle \forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$

La operación binaria del grupo, también denominada ley de composición interna, especifica cómo componer dos elementos para obtener un tercero. También se puede considerar la inversión como la operación unaria[3] que a cada elemento ${\displaystyle g}$ le hace corresponder su elemento inverso ${\displaystyle g^{-1}}$.

Se dice que un grupo es abeliano o conmutativo cuando verifica además la propiedad conmutativa:

${\displaystyle a\circ b=b\circ a\quad \forall a,b\in G}$

Entre dos grupos G, H puede haber morfismos, i.e. funciones que son compatibles con las operaciones en cada uno de ellos. Se dice que una aplicación ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ es un homomorfismo (de grupos) si para todo par de elementos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle G}$ se verifica

${\displaystyle \phi (ab)=\phi (a)\phi (b)\,}$

donde se ha utilizado la convención de escribir ${\displaystyle ab}$ para indicar la operación de a con b en G, y ${\displaystyle \phi (a)\phi (b)}$ la operación de ${\displaystyle \phi (a)}$ con ${\displaystyle \phi (b)}$ en H.

Un homomorfismo de grupos biyectivo se denomina isomorfismo. Cuando existe un isomorfismo entre dos grupos, se dice que estos son isomorfos, en cuyo caso su estructura es idéntica, y solo se diferencian entre sí por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.

Desde el punto de vista de la teoría de categorías, los grupos son los objetos, y los homomorfismos de grupos son los morfismos de la categoría de grupos (Grp).

La categoría de grupos es muy grande, pero puede armarse una relación de equivalencia en esta categoría para que se factorice: la relación entre grupos de ser isomorfos reduce cuestiones estructurales de la categoría de grupos a la categoría de grupos-módulo-los-isomorfos. En esta reducción la operación de unión disjunta la convierte en una categoría monoidal.^{[cita requerida]}

La gama de grupos considerados se ha ampliado gradualmente desde grupos de permutaciones finitas y ejemplos especiales de grupo matricial hasta grupos abstractos que pueden especificarse mediante una presentación por generadores y relaciones.

Los más actuales temas de investigación en la teoría de grupos tienen que ver con las modernas técnicas de la topología. Una manera estándar de construir nuevos grupos a partir de los conocidos son los

• productos libres y productos libres amalgamados.
• HNN-extensiones.

La gran variedad de técnicas topológicas pueden ser aplicadas desde que se sabe que es posible construir siempre un espacio topológico (de hecho un CW-complejo dos-dimensional) de tal manera que el grupo fundamental de este espacio sea el grupo dado.[5]

• Grupo.
• Representación de grupo.
• Subgrupo.
• Álgebra abstracta.
• Teoría geométrica de grupos.

• Alexandroff, P. S. (1967). Introducción a la Teoría de los Grupos. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Cuadernos Nº 132, 152 páginas, en rústica. Traducción del ruso: Juana Elisa Quastler.
• Adler, Irving (1970). La Nueva Matemática. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Ciencia Joven, 288 páginas, en rústica. Traducción del inglés: Jorge Jáuregui. Original: The New Mathematics, The John Day Company, New York.
• Murphy-Hernández, Frank y García, Jaime. Notas de Álgebra Moderna 1.
• Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126 (2nd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012.
• Carter, Nathan C. (2009), Visual group theory, Classroom Resource Materials Series, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-757-1, MR 2504193.
• Cannon, John J. (1969), «Computers in group theory: A survey», Communications of the ACM 12: 3-12, MR 0290613, S2CID 18226463, doi:10.1145/362835.362837.
• Frucht, R. (1939), «Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe», Compositio Mathematica 6: 239-50, ISSN 0010-437X, archivado desde el original el 1 de diciembre de 2008.
• Golubitsky, Martin; Stewart, Ian (2006), «Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism», Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 43 (3): 305-364, MR 2223010, doi:10.1090/S0273-0979-06-01108-6. Shows the advantage of generalising from group to groupoid.
• Judson, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: Theory and Applications. An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory. Free downloadable PDF with open-source GFDL license.
• Kleiner, Israel (1986), «The evolution of group theory: a brief survey», Mathematics Magazine 59 (4): 195-215, ISSN 0025-570X, JSTOR 2690312, MR 863090, doi:10.2307/2690312.
• La Harpe, Pierre de (2000), Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-31721-2.
• Livio, M. (2005), The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry, Simon & Schuster, ISBN 0-7432-5820-7, (requiere registro). Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to symmetries in physics and other sciences.
• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290.
• Ronan M., 2006. Symmetry and the Monster. Oxford University Press. ISBN 0-19-280722-6. For lay readers. Describes the quest to find the basic building blocks for finite groups.
• Rotman, Joseph (1994), An introduction to the theory of groups, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8. A standard contemporary reference.
• Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. (2001), Combinatorial group theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41158-1.
• Scott, W. R. (1987), Group Theory, New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3. Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
• Shatz, Stephen S. (1972), Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778.

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• Referencia global en Encyclopaedia of Mathematics