Relación binaria

Una relación binaria R es homogénea si los conjuntos son iguales:

${\displaystyle R(a_{1},a_{2}):\;(a_{1},a_{2})\in A_{1}\times A_{2}\land A_{1}=A_{2}}$

Dado que ${\displaystyle A_{1}}$ y ${\displaystyle A_{2}}$ son el mismo conjunto, se representa como:

${\displaystyle R(a_{1},a_{2}):\;(a_{1},a_{2})\in A\times A}$

O bien:

${\displaystyle R(a_{1},a_{2}):\;(a_{1},a_{2})\in A^{2}}$

Una relación binaria R es heterogénea si los conjuntos no son iguales:

${\displaystyle R(a_{1},a_{2}):(a_{1},a_{2})\in A_{1}\times A_{2}\land A_{1}\neq A_{2}}$

Dados los conjuntos ${\displaystyle A_{1}}$ y ${\displaystyle A_{2}}$ se describe el par ordenado ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$ que cumple:

${\displaystyle a_{1}\in A_{1}}$

${\displaystyle a_{2}\in A_{2}}$

Se representa como:

${\displaystyle A_{1}\times A_{2}=\{(a_{1},a_{2})\;:a_{1}\in A_{1}\land a_{2}\in A_{2}\}}$

Se lee como:

El producto cartesiano ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$ es el subconjunto de los pares ordenados ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$ tal que ${\displaystyle a_{1}}$ pertenece a ${\displaystyle A_{1}}$ y ${\displaystyle a_{2}}$pertenece a ${\displaystyle A_{2}}$.

${\displaystyle {\begin{array}{|r|ccc|}\hline a&(1,a)&(2,a)&(3,a)\\b&(1,b)&(2,b)&(3,b)\\c&(1,c)&(2,c)&(3,c)\\\hline A_{1}\times A_{2}&1&2&3\\\hline \end{array}}}$

Definidos los conjuntos:

${\displaystyle A_{1}=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle A_{2}=\{a,b,c\}}$

El producto cartesiano ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$ se describe en la tabla adjunta.

La relación binaria ${\displaystyle R(a_{1},a_{2})}$ queda definida como:

${\displaystyle A_{1}\times A_{2}=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)\}\,}$

Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:

Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento está relacionado consigo mismo.

Si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva o es arreflexiva.

${\displaystyle \forall a\in A:\;(a,a)\in R}$

Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R.

Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:

${\displaystyle \nexists a\in A:\;(a,a)\notin R}$

No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.

Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo:

${\displaystyle \forall a\in A:\;(a,a)\notin R}$

Que también puede expresarse

${\displaystyle \nexists a\in A:\;(a,a)\in R}$

No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.

Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación:

${\displaystyle \forall a,b\in A:\;(a,b)\in R\quad \longrightarrow \quad (b,a)\in R}$

Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) también pertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a) tampoco tiene que pertenecer a esa relación:

${\displaystyle \nexists a,b\in A:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,a)\notin R}$

No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca a R._[_

Una relación binaria se dice que tiene la propiedad antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b:

${\displaystyle \forall a,b\in A:\;{\Big (}(a,b)\in R\quad \land \quad (b,a)\in R{\Big )}\quad \longrightarrow \quad a=b}$

Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b de A, que cumplan las condiciones:

• a está relacionado con b
• b está relacionado con a
• a y b son distintos

${\displaystyle \nexists a,b\in A:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,a)\in R\quad \land \quad a\neq b}$

Una relación binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a está relacionado con b y b está relacionado con c, entonces a está relacionado con c:

${\displaystyle \forall a,b,c\in A:\;{\Big (}(a,b)\in R\quad \land \quad (b,c)\in R{\Big )}\quad \longrightarrow \quad (a,c)\in R}$

Una relación binaria tiene la propiedad intransitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a está relacionado con b y b está relacionado con c, entonces a no está relacionado con c:

${\displaystyle \forall a,b,c\in A:\;{\Big (}(a,b)\in R\quad \land \quad (b,c)\in R{\Big )}\quad \longrightarrow \quad (a,c)\notin R}$

Una relación binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: a, b; o a está relacionado con b o b está relacionado con a, esto es el grafo de la relación es conexo:

${\displaystyle \forall a,b\in A:\;(a,b)\in R\quad \lor \quad (b,a)\in R}$

Partiendo de las propiedades que una relación binaria homogéneas puede tener, se pueden diferenciar algunas por su especial interés:

La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados, téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales.

Las relaciones reflexivas son las definidas así:

El caso más claro de propiedad reflexiva es la de igualdad matemática, así dado un conjunto de números, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos que todo número natural es igual a sí mismo.

Dado un conjunto A, formado por los siguientes elementos:

${\displaystyle A=\{a,b,c,d\}\;}$

Y una relación R entre los elementos del conjunto, definida así:

${\displaystyle \mathbb {R} ={\Big \{}(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c),(d,b),(d,d){\Big \}}}$

Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos términos iguales pertenecen a la relación:

${\displaystyle (a,a)\in \mathbb {R} \quad (b,b)\in \mathbb {R} \quad (c,c)\in \mathbb {R} \quad (d,d)\in \mathbb {R} }$

Luego la relación R es reflexiva.

La relación R, también se puede representar en coordenadas cartesianas la función identidad.

En el eje horizontal (abscisas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, y en el eje vertical(ordenadas) el conjunto final, de abajo arriba, si un determinado par pertenece a la relación se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece se deja en blanco, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relación binaria.

En la diagonal principal, inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los pares ordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonal tienen aspas, la relación es reflexiva.

Como puede verse en el diagrama, la relación estudiada es reflexiva, dado que:

Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) pertenece a la relación R.

En cualquiera de las tres formas de representación vistas: enumeración de pares ordenados, donde los pares (e,e) pertenecen a la relación, el diagrama sagital, con una flecha que sale y llega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde hay cruces en la diagonal principal, en todos los casos se representa una relación reflexiva, en la que todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo.

Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un caso particular de relación no reflexiva son las relaciones irreflexivas, en las que ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo. Puede verse que si en una relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no, la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva, que se puede denominar arreflexiva. Ver diagrama:

${\displaystyle Relaciones\;homog{\acute {e}}neas{\begin{cases}reflexivas\\no\;reflexivas{\begin{cases}irreflexivas\\arreflexivas\end{cases}}\\\end{cases}}}$

Las relaciones irreflexivas son un caso particular de las no reflexivas.

También podemos decir que una relación es irreflexiva si:

${\displaystyle \nexists a\in A\,:\quad (a,a)\in R}$

Una relación es irreflexiva si no existe un a en A que cumpla que a está relacionado consigo mismo.

Dado el conjunto:

${\displaystyle A=\{a,b,c,d\}\,}$

y la relación entre los elementos de este conjunto:

${\displaystyle R={\Big \{}(a,b),(b,c),(d,b){\Big \}}}$

Podemos ver que:

${\displaystyle (a,a)\notin R\quad (b,b)\notin R\quad (c,c)\notin R\quad (d,d)\notin R}$

Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) no pertenece a la relación R, luego esta relación en irreflexiva.

La representación de la relación en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonal principal no tiene ninguna cruz, lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relación.

La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relación, el cumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente, si una relación es reflexiva, tenemos que:

${\displaystyle \forall a\in A:\;(a,a)\in R}$

y si es irreflexiva, se cumple:

${\displaystyle \forall a\in A:\;(a,a)\notin R}$

Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones. El razonamiento contrario no es cierto dado que una relación binaria puede ser NO reflexiva y NO irreflexiva simultáneamente:

Una relación binaria es no reflexiva si:

${\displaystyle \exists a\in A\,:\quad (a,a)\notin R}$

Y una relación es no irreflexiva cuando:

${\displaystyle \exists a\in A\,:\quad (a,a)\in R}$

Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, dando lugar a una relación binaria no reflexiva y no irreflexiva:

${\displaystyle {\begin{cases}\exists a\in A\,:\quad (a,a)\notin R\\\exists b\in A\,:\quad (b,b)\in R\end{cases}}}$

veamos un ejemplo, dado el conjunto:

${\displaystyle A=\{a,b,c,d\}\,}$

En la que se ha definido la relación binaria:

${\displaystyle R={\Big \{}(a,a),(a,b),(b,c),(c,c),(d,b){\Big \}}}$

Podemos ver que:

${\displaystyle (a,a)\in R\quad (c,c)\in R}$

Y también que:

${\displaystyle (b,b)\notin R\quad (d,d)\notin R}$

Luego la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva.

Si representamos la relación binaria en coordenadas cartesianas, podemos ver que en la diagonal principal no todas las casillas tienen un aspa, luego la relación no es reflexiva, y tampoco están todas en blanco luego tampoco es irreflexiva, esto es un relación binaria no reflexiva y no irreflexiva, al darse estas dos condiciones simultáneamente en una misma relación.

En resumen, podemos diferenciar tres clases de relaciones:

• Relaciones reflexivas
• Relaciones irreflexivas
• Relaciones arreflexivas

Dado, que como ya se ha mencionado, una relación no puede ser reflexiva e irreflexiva simultáneamente, pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultáneamente.

Una relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simétrica:

Así por ejemplo si consideramos el conjunto de los números naturales, y definimos la distancia D entre dos números, como el valor absoluto de su diferencia:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {N}$ :\;D=|a-b|}

y decimos que dos números naturales a, b están próximos si su distancia es a lo sumo un valor D conocido, tenemos que la relación binaria de proximidad es:

${\displaystyle (a,b)\in R:\;(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\quad \land \quad |a-b|\leq D}$

es una relación de dependencia, dado que es reflexiva:

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {N}$ :\;|a-a|\leq D}

es simétrica:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {N}$ :\;|a-b|\leq D\quad \longrightarrow \quad |b-a|\leq D}

relación binaria de proximidad no es transitiva, dado que:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N}$ :\;{\Big (}|a-b|\leq D\quad \land \quad |b-c|\leq D{\Big )}\quad \nrightarrow \quad |a-c|\leq D}

que la distancia entre a y b sea a lo sumo D y que la distancia entre b y c no supere D, no implica necesariamente que la distancia entre a y c no sea mayor que D. Esta relación de dependencia entre los números por su distancia no es una clase de equivalencia, pero si denota una dependencia entre ellos.

Una relación binaria define un conjunto preordenado si es reflexiva y transitiva:

Una relación binaria es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva:[1]

Una relación de equivalencia define dentro del conjunto A lo que se denominan, Clases de equivalencia, una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de los subconjuntos en que la relación de equivalencia divide al conjunto A, entre ellos son disjuntos, y la unión de todos ellos es el conjunto A, veamos un ejemplo.

En Aritmética modular se define la operación módulo como el resto de la división, así:

${\displaystyle 5{\mathit {\;M{\acute {o}}d\;}}2=1}$

${\displaystyle 6{\mathit {\;M{\acute {o}}d\;}}3=0}$

${\displaystyle 7{\mathit {\;M{\acute {o}}d\;}}3=1}$

el resto de dividir 5 entre 2 es 1

el resto de dividir 6 entre 3 es 0

el resto de dividir 7 entre 3 es 1

se dice que dos números son congruentes módulo n, si al dividir cada uno de esos números por n dan el mismo resto:

${\displaystyle 8\equiv 17\quad ({\mathit {M{\acute {o}}d\;}}3)}$

el 8 y el 17 son congruentes módulo 3 dado que al dividirlos por 3 en los dos casos dan por resto 2.

La congruencia modular de grado n, de los números naturales, es una Relación de equivalencia, dado que es reflexiva:

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {N}$ :\;a\equiv a\quad ({\mathit {M{\acute {o}}d\;}}n)}

es simétrica:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {N}$ :\;a\equiv b\quad ({\mathit {M{\acute {o}}d\;}}n)\longrightarrow \quad b\equiv a\quad ({\mathit {M{\acute {o}}d\;}}n)}

y es transitiva

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N}$ :\;{\Big (}a\equiv b\quad ({\mathit {M{\acute {o}}d\;}}n)\quad \land \quad b\equiv c\quad ({\mathit {M{\acute {o}}d\;}}n){\Big )}\longrightarrow \quad a\equiv c\quad ({\mathit {M{\acute {o}}d\;}}n)}

Un conjunto A se dice que esta parcialmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva y antisimétrica:

Tomando un conjunto A, formado, por ejemplo, por los elementos:

${\displaystyle A=\{a,b,c\}\;}$

Se define el Conjunto potencia de A como el formado por todos los subconjuntos de A:

${\displaystyle P(A)={\Big \{}\{\},\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}{\Big \}}}$

A cada uno de estos subconjuntos los llamamos:

${\displaystyle A_{1}=\{\}\;}$

${\displaystyle A_{2}=\{a\}\;}$

${\displaystyle A_{3}=\{b\}\;}$

${\displaystyle A_{4}=\{c\}\;}$

${\displaystyle A_{5}=\{a,b\}\;}$

${\displaystyle A_{6}=\{a,c\}\;}$

${\displaystyle A_{7}=\{b,c\}\;}$

${\displaystyle A_{8}=\{a,b,c\}\;}$

Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que están relacionados por pertenencia si el primero es Subconjunto del segundo:

${\displaystyle R={\Big \{}(A_{i},A_{j})\in \;P(A):\quad A_{i}\subseteq A_{j}{\Big \}}}$

La relación pertenencia entre los conjuntos potencia de A, es un conjunto parcialmente ordenado, al ser reflexiva:

${\displaystyle \forall A_{i}\in P(A):\;A_{i}\subseteq A_{i}}$

Transitiva:

${\displaystyle \forall A_{i},A_{j},A_{k}\in P(A):\;{\Big (}A_{i}\subseteq A_{j}\quad \land \quad A_{j}\subseteq A_{k}{\Big )}\longrightarrow \quad A_{i}\subseteq A_{k}}$

Antisimetrica:

${\displaystyle \forall A_{i},A_{j}\in P(A):\;{\Big (}A_{i}\subseteq A_{j}\quad \land \quad A_{j}\subseteq A_{i}{\Big )}\longrightarrow \quad A_{i}=A_{j}}$

Por lo que el conjunto de las partes de A, respecto a la relación binaria pertenencia es un conjunto parcialmente ordenado.

Esta relación no es total dado que:

${\displaystyle \neg \forall (A_{i},A_{j})\in P(A):\;A_{i}\subseteq A_{j}\quad \lor \quad A_{j}\subseteq A_{i}}$

Que se denominan no comparables, los pares de conjuntos no comparables son:

${\displaystyle 1.\;{\Big (}\{a\},\{b\}{\Big )}\notin R\;:\quad \{a\}\nsubseteq \{b\}\;\land \;\{b\}\nsubseteq \{a\}}$

${\displaystyle 2.\;{\Big (}\{a\},\{c\}{\Big )}\notin R\;:\quad \{a\}\nsubseteq \{c\}\;\land \;\{c\}\nsubseteq \{a\}}$

${\displaystyle 3.\;{\Big (}\{b\},\{c\}{\Big )}\notin R\;:\quad \{b\}\nsubseteq \{c\}\;\land \;\{c\}\nsubseteq \{b\}}$

${\displaystyle 4.\;{\Big (}\{a\},\{b,c\}{\Big )}\notin R\;:\quad \{a\}\nsubseteq \{b,c\}\;\land \;\{b,c\}\nsubseteq \{a\}}$

${\displaystyle 5.\;{\Big (}\{b\},\{a,c\}{\Big )}\notin R\;:\quad \{b\}\nsubseteq \{a,c\}\;\land \;\{a,c\}\nsubseteq \{b\}}$

${\displaystyle 6.\;{\Big (}\{c\},\{a,b\}{\Big )}\notin R\;:\quad \{c\}\nsubseteq \{a,b\}\;\land \;\{a,b\}\nsubseteq \{c\}}$

${\displaystyle 7.\;{\Big (}\{a,b\},\{a,c\}{\Big )}\notin R\;:\quad \{a,b\}\nsubseteq \{a,c\}\;\land \;\{a,c\}\nsubseteq \{a,b\}}$

${\displaystyle 8.\;{\Big (}\{a,b\},\{b,c\}{\Big )}\notin R\;:\quad \{a,b\}\nsubseteq \{b,c\}\;\land \;\{b,c\}\nsubseteq \{a,b\}}$

${\displaystyle 9.\;{\Big (}\{a,c\},\{b,c\}{\Big )}\notin R\;:\quad \{a,c\}\nsubseteq \{b,c\}\;\land \;\{b,c\}\nsubseteq \{a,c\}}$

A la vista del diagrama, los conjuntos que se pueden alcanzar siguiendo el sentido de las flechas se denominan comparables y determinan la estructura del orden parcial.

Para un conjunto A y una relación binaria ${\displaystyle \precsim }$ definida entre los elementos de A, que expresaremos ${\displaystyle (A,\precsim )}$ y la relación la representamos:

${\displaystyle x,y\in A\;,\quad x\precsim y}$

que se lee: x antecede a y.

La no relación se representa:

${\displaystyle x,y\in A\;,\quad x\not \precsim y}$

Todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.

2.- La relación R es transitiva:

${\displaystyle \forall a,b,c\in A:\;{\Big (}(a,b)\in R\quad \land \quad (b,c)\in R{\Big )}\longrightarrow \quad (a,c)\in R}$

Si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

3.- La relación R es antisimétrica:

${\displaystyle \forall a,b\in A:\;{\Big (}(a,b)\in R\quad \land \quad (b,a)\in R{\Big )}\longrightarrow \quad a=b}$

Si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R, entonces a y b son iguales.

4.- La relación R es total:

${\displaystyle \forall a,b\in A:\;(a,b)\in R\quad \lor \quad (b,a)\in R}$

Si para cualquiera dos elemento del conjunto: a, b; o a está relacionado con b o bien b está relacionado con a.

Si tomamos el conjunto de los números enteros Z, por ejemplo, respecto a la relación binaria entre sus elementos menor o igual, podemos ver que es reflexiva:

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z}$ :\;a\leq a}

es transitiva:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Z}$ :\;{\Big (}a\leq b\quad \land \quad b\leq c{\Big )}\longrightarrow \quad a\leq c}

es antisimetrica:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Z}$ :\;{\Big (}a\leq b\quad \land \quad b\leq a{\Big )}\longrightarrow \quad a=b}

y es total:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Z}$ :\;a\leq b\quad \lor \quad b\leq a}

Dado un conjunto A y una relación binaria ${\displaystyle \precsim }$ definida entre los elementos de A, que expresaremos ${\displaystyle (A,\precsim )}$ y la relación se representa:

${\displaystyle a\precsim b}$

Se dice que se ha definido un orden total en el conjunto A, si la relación ${\displaystyle (A,\precsim )}$ cumple las propiedades:

1. Reflexiva.

2. Antisimétrica.

3. Transitiva.

4. Es, además, una relación total, es decir, se cumple que todos los elementos de un conjunto con orden total son comparables:

${\displaystyle \forall a,b\in A:\quad a\precsim b\quad \lor \quad b\precsim a}$

Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria ${\displaystyle \precsim }$, siendo ${\displaystyle (A,\precsim )}$ un conjunto totalmente ordenado.

El elemento y de A que cumple:

${\displaystyle y\in A\;es\;m{\acute {a}}ximo\;si:\quad \forall x\in A\;/\quad x\precsim y}$

Se denomina máximo y define una cota superior en A; el elemento máximo es único. Si el conjunto A y la relación binaria ${\displaystyle \precsim }$, que expresaremos ${\displaystyle (A,\precsim )}$ es un orden total y tiene máximo, entonces es un conjunto con orden total y acotado superiormente.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

${\displaystyle z\in A\;es\;m{\acute {\imath }}nimo\;si:\quad \forall x\in A\;/\quad z\precsim x}$

Se denomina mínimo y define una cota inferior en A; el elemento mínimo es único. Si el conjunto A y la relación binaria ${\displaystyle \precsim }$, que expresaremos ${\displaystyle (A,\precsim )}$ es un orden total y tiene mínimo, entonces es un conjunto con orden total y acotado inferiormente.

Un conjunto con orden total solo se dice acotado, si está acotado superior e inferiormente.

Partiendo de una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

${\displaystyle R:A\rightarrow B}$

Por su importancia podemos distinguir las siguientes condiciones, que nos permiten diferenciar los subtipos de correspondencias.

La condición de existencia de imagen garantiza que tomando un elemento cualesquiera a de A tiene al menos una imagen b en B.

${\displaystyle \forall a\in A:\;\exists b\in B\quad \land \quad (a,b)\in R.}$

para todo elemento a de A se cumple que existe al menos un b de B, a y b estén relacionado.

En la figura podemos ver el conjunto P de los pinceles:

${\displaystyle P=\{\,}$

,

${\displaystyle \}\,}$

y el C de las caras pintada:

${\displaystyle C=\{\,}$

,

,

,

${\displaystyle \}\,}$

Si relacionamos cada pincel con la cara pintada del mismo color, podemos ver que todos los pinceles tienen al menos una cara asociada.

La condición de existencia de origen garantiza que todo elemento b de B tiene al menos un origen a en A.

${\displaystyle \forall b\in B:\;\exists a\in A\quad \land \quad (a,b)\in R.}$

para todo b de B se cumple que existe un a en A y que a y b están relacionados.

Si vemos la figura podemos ver el conjunto P de pinceles con pintura:

${\displaystyle P=\{\,}$

,

,

,

${\displaystyle \}\,}$

y el conjunto C de caras pintada:

${\displaystyle C=\{\,}$

,

${\displaystyle \}\,}$

Y que todas y cada una de las caras tiene al menos un pincel de su mismo color. Cada uno de los elementos del conjunto final tiene un origen.

La condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos a de A que están relacionados con algún b de B está relacionado con un único elemento b de B, es decir:

${\displaystyle {\Big (}(a,b_{1})\in R\quad \land \quad (a,b_{2})\in R{\Big )}\longrightarrow \quad b_{1}=b_{2}.}$

si un elemento a de A está relacionado con dos elementos b de B esos dos elementos son iguales.

Condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos que tienen imagen tengan una sola imagen, pero no garantiza que todos los elementos de A tengan imagen, esta diferencia es importante.

En el diagrama sagital de la derecha vemos el conjunto P:

${\displaystyle P=\{\,}$

,

,

,

${\displaystyle \}\,}$

Y el conjunto final C, de caras pintada:

${\displaystyle C=\{\,}$

,

,

${\displaystyle \}\,}$

Los pinceles que tienen una cara relacionada, tienen una sola cara relacionada.

La condición de unicidad de origen dice: que los elementos b de B que están relacionados con algún a de A está relacionado solo con un único elemento a de A, es decir:

${\displaystyle {\Big (}(a_{1},b)\in R\quad \land \quad (a_{2},b)\in R{\Big )}\longrightarrow \quad a_{1}=a_{2}.}$

En el diagrama tenemos el conjunto inicial P de pinceles con pintura de colores:

${\displaystyle P=\{\,}$

,

,

,

${\displaystyle \}\,}$

y el conjunto final C de caras pintadas:

${\displaystyle C=\{\,}$

,

,

,

${\displaystyle \}\,}$

Relacionando cada pincel con la cara de su mismo color, podemos ver que las caras que tienen un pincel relacionado, solo tienen un pincel relacionado, esto es un solo origen, no todas las caras tienen un origen, pero las que lo tienen, tienen un solo origen.

Según las cuatro condiciones expuestas, cada una de ellas independiente de las demás, podemos ver una serie de ejemplos ilustrativos de los casos que se pueden presentar.

Utilizaremos como conjunto inicial el conjunto de tubos de pintura T, y como conjunto final el de pinceles P, asociando cada tubo de pintura con el pincel del mismo color.

Correspondencia Existencia imagen: no Unicidad imagen: no Existencia origen: no Unicidad origen: no	Correspondencia Existencia imagen: si Unicidad imagen: no Existencia origen: no Unicidad origen: no	C. Unívoca Existencia imagen: no Unicidad imagen: si Existencia origen: no Unicidad origen: no	Aplicación Existencia imagen: si Unicidad imagen: si Existencia origen: no Unicidad origen: no
Correspondencia Existencia imagen: no Unicidad imagen: no Existencia origen: si Unicidad origen: no	Correspondencia Existencia imagen: si Unicidad imagen: no Existencia origen: si Unicidad origen: no	C. Unívoca Existencia imagen: no Unicidad imagen: si Existencia origen: si Unicidad origen: no	A. Sobreyectiva Existencia imagen: si Unicidad imagen: si Existencia origen: si Unicidad origen: no
Correspondencia Existencia imagen: no Unicidad imagen: no Existencia origen: no Unicidad origen: si	Correspondencia Existencia imagen: si Unicidad imagen: no Existencia origen: no Unicidad origen: si	C. Biunívoca Existencia imagen: no Unicidad imagen: si Existencia origen: no Unicidad origen: si	A. Inyectiva Existencia imagen: si Unicidad imagen: si Existencia origen: no Unicidad origen: si
Correspondencia Existencia imagen: no Unicidad imagen: no Existencia origen: si Unicidad origen: si	Correspondencia Existencia imagen: si Unicidad imagen: no Existencia origen: si Unicidad origen: si	C. Biunívoca Existencia imagen: no Unicidad imagen: si Existencia origen: si Unicidad origen: si	A. Biyectiva Existencia imagen: si Unicidad imagen: si Existencia origen: si Unicidad origen: si

Partiendo de las características de las relaciones binarias heterogéneas, podemos diferenciar los siguientes casos.

Una correspondencia es unívoca si cumple la condición de unicidad de imagen:

Esta condición en necesaria y suficiente para que una correspondencia sea considerada unívoca.

Una correspondencia es biunívoca si cumple las condiciones de unicidad de imagen y unicidad de origen:

Una correspondencia ${\displaystyle R:A\to B}$ se denomina aplicación si todo elemento de A admite una única imagen en B.,[4][5][3][6][7][8] esto es si cumple la condición de unicidad de imagen y de existencia de imagen.

Una aplicación f de A en B, siendo A y B dos conjuntos cualesquiera, es una correspondencia entre A y B, total y unívoca.[9] según otra nomenclatura.

Si la aplicación la representamos como R, tendremos:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}R:\;A&\longrightarrow &B\\a&\longmapsto &b=R(a)\end{array}}}$

por la que definimos una aplicación que a cada elemento a de A se le asigna un único b de B.

${\displaystyle \forall a\in A\,:\quad \exists !b\in B\;/\quad b=R(a)}$

Para todo a de A, se cumple que existe un único b de B, tal que b es el resultado R(a).

El término función se suele utilizar cuando los conjuntos inicial y final son numéricos.[10]

Es usual hablar de aplicación en lugar de función, reservando esta última expresión, habitualmente, para el caso en el cual los conjuntos A y B son numéricos. Si A y B son conjuntos de puntos, se suele hablar de transformación geométrica.[11]

Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.[12]

En inglés una aplicación se llama map[13]

Si una correspondencia cumple estas dos condiciones se denomina aplicación.

Una correspondencia es una aplicación inyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y unicidad de origen.

Como puede verse una aplicación que cumple la condición de unicidad de origen es una Aplicación inyectiva.

De otra forma no tan usual, podemos decir que una correspondencia biunívoca que cumpla la condición de existencia de imagen también es una aplicación inyectiva.

Una correspondencia se llama Aplicación sobreyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y existencia de origen:

Se puede decir que una aplicación sobreyectiva, es una aplicación que cumple la condición de existencia de origen.

Una correspondencia es una aplicación biyectiva si cumple las condiciones de unicidad de imagen, existencia de imagen, unicidad de origen y existencia de origen:

Una Aplicación es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.