Relación de orden

Sea ${\displaystyle A}$ un conjunto dado no vacío y ${\displaystyle R}$ una relación binaria definida en ${\displaystyle A}$, entonces se dice que ${\displaystyle R}$ es una relación de orden si es:[1]

1. Reflexiva: Todo elemento de ${\displaystyle A}$ está relacionado consigo mismo. Es decir, ${\displaystyle \forall x\in A,\;xRx}$.
2. Antisimétrica: Si dos elementos de ${\displaystyle A}$ se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, ${\displaystyle \forall x,y\in A,\;xRy,\;yRx\;\Rightarrow \;x=y}$
3. Transitiva: Si un elemento de ${\displaystyle A}$ está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, ${\displaystyle \forall x,y,z\in A,\;xRy,yRz\Rightarrow xRz}$

Dada una relación de orden ${\displaystyle R}$ sobre un conjunto ${\displaystyle A}$, el par ordenado ${\displaystyle (A,R)}$ forma por definición un conjunto ordenado.

Un ejemplo de relación de orden es la inclusión en el conjunto potencia de un conjunto A. En este caso, hay pares de subconjuntos que no se pueden comparar: ni el primero está contenido en el segundo ni el segundo lo está en el primero.[2] En otras palabras, la inclusión no es una relación de orden total.

Sea ${\displaystyle A}$ un conjunto dado, ${\displaystyle \leq }$ es una relación de orden total si y solo si la relación es de orden y todos los elementos de ${\displaystyle A}$ se relacionan entre sí, es decir,

${\displaystyle \forall x,y\in A,(x\leq y)\vee (y\leq x)}$.

• Ejemplo ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}$ es totalmente ordenado. En efecto, es:
  • Reflexivo: ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,}$ entonces ${\displaystyle n\leq n}$ (porque por definición, ${\displaystyle n=n\,}$)
  • Antisimétrico: ${\displaystyle \forall n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} ,}$ si ${\displaystyle \;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;}$ y ${\displaystyle \;\;n_{2}\leq n_{1},\;\;}$ entonces ${\displaystyle n_{1}\leq n_{2}\leq n_{1}}$ ${\displaystyle \Rightarrow n_{1}=n_{2}}$
  • Transitivo: ${\displaystyle \forall n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {N} ,}$ si ${\displaystyle \;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;}$ y ${\displaystyle \;\;n_{2}\leq n_{3},\;\;}$ entonces ${\displaystyle n_{1}\leq n_{2}\leq n_{3}\Rightarrow n_{1}\leq n_{3}}$
  • Orden total, pues

Sean a y b dos números naturales, entonces a ≤ b o b ≤ a.[3]

No todas las relaciones de orden son totales. Dos contraejemplos son:

• (ℤ₊, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, "a divide b"; pues
  • 5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ₊, 12 ≠ 5h.[2]
  • 12 no divide a 5 tampoco.
• Sea el conjunto ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$ y el conjunto potencia de ${\displaystyle X}$, definido por:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}$

Entonces ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$ es parcialmente ordenado, pero no totalmente, pues para

${\displaystyle A=\{1\},C=\{3\}\in {\mathcal {P}}(X),}$

se tiene:

${\displaystyle A\nsubseteq C\ \land \ C\nsubseteq A.}$

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Una relación de orden parcial ${\displaystyle \leq }$ sobre un conjunto ${\displaystyle X}$ se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, ${\displaystyle \forall x,y\in X}$ tales que ${\displaystyle x<y(x\leq y\land x\neq y)}$, existe otro ${\displaystyle z\in X}$ tal que ${\displaystyle x<z<y}$.

• Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si ${\displaystyle q_{1}<q_{2}}$, entonces tenemos que ${\displaystyle q_{3}:={\frac {q_{1}+q_{2}}{2}}}$ satisface que: ${\displaystyle q_{1}<q_{3}<q_{2}}$
• Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.Sin embargo, para cualquier ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ existen los enteros ${\displaystyle k}$ y ${\displaystyle k+1}$, tal que ${\displaystyle k\leq t<k+1}$.[lower-alpha 2]

• Teoría del orden
• Desigualdad matemática
• Igualdad matemática

• Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (en inglés). New York: American Mathematical Society.

• Davey, B.A.; Priestley, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (en inglés) (2nd. edición). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1.

• Fraïssé, Roland (2000). Theory of Relations (en inglés) (1rst. (revised) edición). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3.

• Roman, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (en inglés). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2.

• Rosenstein, Joseph G (1982). Linear Orderings (en inglés) (2nd. edición). New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1.