Conjunto bien ordenado

Si ${\displaystyle A}$ es un conjunto totalmente ordenado se dice que ${\displaystyle n}$ es el primer elemento o elemento mínimo de ${\displaystyle A}$ si satisface:

• ${\displaystyle n}$ es un elemento de ${\displaystyle A}$

${\displaystyle n\in A}$

• Si ${\displaystyle m}$ es cualquier elemento de ${\displaystyle A}$, entonces ${\displaystyle n}$ es menor o igual que ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \forall m\in A\quad n\leq m}$

Intuitivamente se entiende que el elemento mínimo es el más pequeño de un conjunto.

El principio del buen orden es un lema que establece que todo conjunto que esté formado únicamente por números naturales tiene un primer elemento. Es decir, que el conjunto de los números naturales es bien ordenado. El primer elemento de los números naturales es ${\displaystyle 0}$.

Si (A, ≤) es un conjunto bien ordenado, y B es un subconjunto de A con la relación de orden inducida y f:A → B un isomorfismo, entonces para todo a ∈ A, vale a ≤ f(a).

Dado un número ordinal (teoría de conjuntos) α, el conjunto de todos los números ordinales β < α es un conjunto bien ordenado. Así ${\displaystyle \mathbb {N} }$ es isomorfo al conjunto ordenado {β: β < ω}.

Este resultado significa que los conjuntos bien ordenados son clasificados hasta isomorfismo por los números ordinales. Aceptando el axioma de elección, se obtiene el siguiente teorema (que de hecho es equivalente):

Una generalización de la noción de conjunto bien ordenado es la de conjunto bien fundado.

• Teoría del orden

• Keith Devlin, The Joy of Sets, Springer Verlag, 1992