Relación matemática

Una relación R de n conjuntos es una generalización de la noción de relación matemática binaria para más de dos elementos. Se define como un subconjunto del producto cartesiano[1][2] de los conjuntos ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$, llamados el esquema de la relación:

${\displaystyle R\subseteq A_{1}\times \cdots \times A_{n}}$

La relación indica si los elementos de los conjuntos están relacionados entre sí, es decir, si cada posible tupla que toma valores del esquema pertenece o no pertenece a la relación.

Una relación se representa como:

${\displaystyle R=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\;\in \;A_{1}\times \cdots \times A_{n}\;\mid \;R(a_{1},\ldots ,a_{n})\}}$

Por ejemplo, podemos representar la siguiente relación R "x cree que a y le gusta z", en el conjunto de personas P = {Alicia, Benito, Carlos, Diana}, donde el esquema es el producto cartesiano P₁ × P₂ × P₃:

R = {(Alicia, Benito, Diana), (Carlos, Alicia, Benito), (Carlos, Carlos, Alicia), (Diana, Diana, Diana)}.

R se puede representar también con esta tabla:

El orden de las tabla no es relevante pero las columnas sí, ya que las filas de las relaciones son tuplas ordenadas.

Una relación se describe como: La relación n-aria[3] es el conjunto tuplas ordenadas ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ pertenecientes al producto cartesiano ${\displaystyle A_{1}\times \cdots \times A_{n}}$ donde ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$, para cada ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$, cuya condición ${\displaystyle R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ se satisface.

Un caso particular se presenta cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: ${\displaystyle A_{1}=\cdots =A_{n}}$, es decir ${\displaystyle A\times \ldots \times A}$ y se describe como ${\displaystyle A^{n}\,}$:

${\displaystyle R\subseteq A^{n}}$