Clase lateral

El grupo cíclico aditivo Z₄ = {0, 1, 2, 3} = G tiene un subgrupo H = {0, 2} (isomórfico de Z₂). Las clases laterales izquierdas H en G son

0 + H = {0, 2} = H

1 + H = {1, 3}

2 + H = {2, 0} = H

3 + H = {3, 1}.

Existen, por tanto, dos clases laterales diferentes: el propio H y 1 + H = 3 + H. Observe que todo elemento de G pertenece a H o a 1 + H, es decir, H ∪ (1 + H ) = G, de modo que las distintas clases laterales de H en G forman una partición de G. Puesto que Z₄ es un grupo abeliano, las clases laterales derechas son idénticas a las izquierdas.

Otro ejemplo de clase lateral surge de la teoría de los espacios vectoriales. Los elementos (vectores) de un espacio vectorial forman un grupo abeliano al dotarles de la operación de suma vectorial. No resulta difícil demostrar que los subespacios de un espacio vectorial son subgrupos de dicho grupo. Para un espacio vectorial V, un subespacio W y un vector fijo a perteneciente a V, los conjuntos

${\displaystyle \{x\in V\colon x=a+n,n\in W\}}$

se denominan subespacios afines y son clases laterales (tanto izquierdas como derechas, dado que el grupo es abeliano). En términos de vectores geométricos, estos subespacios afines son todas las "líneas" o "planos" paralelos al subespacio, que es una línea o plano que pasa a través del origen.

gH es un subconjunto de H si y sólo si g es un elemento de H, dado que como H es un subgrupo, debe forzosamente ser cerrado y contener el elemento identidad.

Para todo par de clases laterales izquierdas de H en G, dichas clases laterales son idénticas o disjuntas - es decir, las clases laterales izquierdas forman una partición de G tal que todo elemento de G pertenece a una y solo una clase lateral izquierda.[1] En particular, el elemento identidad pertenecerá a sólo una de las clases laterales, y dicha clase lateral será el propio H; asimismo, esa será la única clase lateral con estructura de subgrupo. Podemos comprobar este hecho fácilmente en los ejemplos anteriores.

Las clases laterales izquierdas de H en G son las clases de equivalencia inducidas en G por la relación de equivalencia definida por x ~ y si y sólo si x ^-1y ∈ H.

Podemos afirmar enunciados similares para las clases laterales derechas.

Un representante de una clase lateral es un representante en el sentido tradicional al hablar de clases de equivalencia. A un conjunto de representantes de todas las clases laterales se le denomina transversal. Hay otro tipos de relaciones de equivalencia en un grupo, como la conjugación, que forman clases distintas, que no exhiben las propiedades que aquí hemos indicado.

• Clase lateral doble
• Heap
• Teorema de Lagrange
• Grupo cociente