Tensor de energía-impulso

Fijado un conjunto de coordenadas o una base ${\displaystyle \scriptstyle \{{\mathbf {e} }^{0},{\mathbf {e} }^{1},{\mathbf {e} }^{2},{\mathbf {e} }^{3}\}}$ en cada punto del espacio-tiempo (los elementos de esta base sería matemáticamente 1-formas), el tensor energía-impulso es un tensor de rango 2 que puede describirse como una matriz del tipo:

${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {x} )=T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ){\mathbf {e} }^{\alpha }\otimes {\mathbf {e} }^{\beta },\qquad T_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{bmatrix}}}$

Interpretación usual de las componentes contravariantes del tensor energía-impulso

Donde en la expresión anterior se ha usado el convenio de sumación de Einstein. Si consideramos ahora un observador que se mueve con cuadrivelocidad ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {u} =u^{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }}$ tenemos que la densidad de energía medida en un punto ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} }$ por dicho observador viene dada por:

${\displaystyle e=T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ){\frac {u^{\alpha }u^{\beta }}{c^{2}}}}$

Y el flujo de energía a través de una superficie (de tipo espacial y en reposo respecto al observador) cuyo vector normal venga dado por ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {n} }$ viene dado por:

${\displaystyle -T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} )u^{\alpha }n^{\beta }}$

• En teoría de la relatividad el tensor energía-impulso de un fluido perfecto es expresable en términos de su cuadrivelocidad, densidad másica y presión:

(1)${\displaystyle T_{\mu \nu }=\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }}$

Existen diversas formas no equivalentes de definir el tensor tensión para la materia ordinaria. Entre las más comunes se encuentra:

• El tensor energía-impulso de Hilbert.
• El tensor energía-impulso canónico.
• El tensor energía-impulso de Belifante-Rosenfelder.

• Anexo:Glosario de relatividad