Tensor tensión

Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.

El teorema de Cauchy sobre las tensiones de un cuerpo, establece que dada una distribución de tensiones internas sobre la geometría de un medio continuo deformado, que satisfaga las condiciones del principio de Cauchy existe un campo tensorial T simétrico definido sobre la geometría deformada con las siguientes propiedades:

1. . ${\displaystyle t(\mathbf {x} ,n)=[T_{C}(\mathbf {x} )](n),}$
2. . ${\displaystyle \nabla \cdot T_{C}(\mathbf {x} )+f(\mathbf {x} )=0,}$
3. . ${\displaystyle T_{C}(\mathbf {x} )=T_{C}^{T}(\mathbf {x} )}$

La tercera propiedad significa que este tensor vendrá dado sobre las coordenadas especificadas por una matriz simétrica. Cabe señalar que en un problema mecánico a priori es difícil conocer el tensor tensión de Cauchy ya que este está definido sobre la geometría del cuerpo una vez deformado, y ésta no es conocida de antemano. Por tanto previamente es necesario encontrar la forma deformada para conocer exactamente el tensor de Cauchy. Sin embargo, cuando las deformaciones son pequeñas, en ingeniería y aplicaciones prácticas se emplea este tensor aunque definido sobre las coordenadas del cuerpo sin deformar (lo cual no conduce a errores de cálculo excesivo si todas las deformaciones máximas son inferiores a 0,01).

Fijado un sistema de referencia ortogonal, el tensor tensión de Cauchy viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes son:

${\displaystyle [T_{C}]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}$

La tercera forma es la forma común de llamar a las componentes del tensor tensión en ingeniería.

Los tensores de Piola-Kirchhoff T_R se introducen para evitar la dificultad de tener que trabajar con un tensor definido sobre la geometría ya deformada (que normalmente no es conocida de antemano). La relación entre ambos tensores viene dada por:

${\displaystyle T_{R}(\mathbf {x} )=\det(\nabla F)T_{C}(\mathbf {x} )(\nabla F)^{-T}}$

Donde F es el tensor gradiente de deformación. Este tensor sin embargo, tiene el problema de que no es simétrico (ver segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff).

Este tensor se introduce para lograr un tensor definido sobre la geometría previa a la deformación y que además sea simétrico, a diferencia del primer tensor de Piola-Kirchhoff que no tiene por qué ser simétrico. El segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff viene dado por:

${\displaystyle \Sigma _{R}(\mathbf {x} )=\det(\nabla F)((\nabla F)^{-1})T_{C}(\mathbf {x} )(\nabla F)^{-T},}$

• R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, ed. Dover, ISBN 0-486-44241-1, 1980.