Mecánica de sólidos deformables

Los sólidos elásticos son el tipo de sólido deformable de más sencillo tratamiento, ya que son materiales "sin memoria" en que el valor de las tensiones ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ en un punto ${\displaystyle \mathbf {x} }$ en un instante dado dependen solo de las deformaciones ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ en el mismo punto y no de las deformaciones anteriores (ni el valor de otras magnitudes en un instante anterior). Para un sólido elástico la ecuación constitutiva funcionalmente es de la forma:

(1)${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=T({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t);\mathbf {x} ),\qquad \qquad T:{\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})\times \mathbb {R} ^{3}\to {\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})}$

Si el sólido elástico además es homogéneo, la función ${\displaystyle T(\cdot ,\cdot )}$ solo dependerá del primer argumento. En la especificación anterior ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ denota el conjunto de tensores simétricos en el espacio euclídeo tridimensional. Si el material no responde a una ecuación como la anterior entonces el material es anelástico. Los materiales anelásticos se caracterizan por ser materiales "con memoria" en los que la tensión actual en punto depende de la deformación en el mismo punto en algún instante anterior. La viscoelasticidad es el tipo de fenómeno de memoria más simple, aunque otros fenómenos como la existencia de plasticidad son formas de anelasticidad que requieren un tratamiento más complejo. Un material con memoria totalmente general responde a una ecuación más compleja:

(2)${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=T({\boldsymbol {\tilde {\varepsilon }}}^{t}(\mathbf {x} ,\cdot );\mathbf {x} ),\qquad \qquad {\boldsymbol {\tilde {\varepsilon }}}^{t}(\mathbf {x} ,\tau ):={\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,\tau -t),\quad T:{\mathcal {F}}({\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3}))\times \mathbb {R} ^{3}\to {\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})}$

Obsérvese que ahora el segundo argumento de ${\displaystyle T(\cdot ,\cdot )}$ no está sobre un espacio vectorial finito (tensores simétricos de orden dos), sino sobre un espacio funcional ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3}))}$ (funciones que toman valores sobre los tensores de orden dos). Ahora no basta con especificar el valor actual de la deformación ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ sino que es necesario especificar el valor para cualquier instante de tiempo ${\displaystyle {\boldsymbol {\tilde {\varepsilon }}}^{t}}$ lo cual requiere especificar una función del tiempo con lo cual el primer argumento pertenece a un espacio infinitodimensional.

Afortunadamente el tratamiento de los materiales viscoelásticos y elastoplásticos convencionales puede hacerse con ecuaciones constitutivas menos generales que (2). Los sólidos viscoelásticos y elastoplásticos son casos particulares de (2) pueden definirse sobre espacios de dimensión finita. Por ejemplo un sólido viscoelástico de tipo diferencial con complejidad 1, el tipo más simple de viscoelasticidad, puede ser descrito simplemente mediante una ecuación constitutiva del tipo:

(3)${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=T({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t),{\boldsymbol {\dot {\varepsilon }}}(\mathbf {x} ,t);\mathbf {x} ),\qquad \qquad {\boldsymbol {\dot {\varepsilon }}}(\mathbf {x} ,\tau ):={\frac {d{\boldsymbol {\varepsilon }}}{dt}},\quad T:({\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})\times {\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3}))\times \mathbb {R} ^{3}\to {\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})}$

Si la complejidad es más alta, bastaría añadir derivadas segundas o terceras hasta el orden adecuado. Para un sólido viscoelástico lineal, puede verse que (3) es un caso particular de (2) ya que en un sólido viscoelástico lineal cuya función de relajación sea ${\displaystyle \scriptstyle F(\cdot )}$ la tensión se relaciona con la deformación mediante:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=[\mathbf {C} +\mathbf {F} (0)]:{\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {F} (t):{\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,0)+\int _{0}^{t}{\dot {\mathbf {F} }}(\tau ):{\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t-\tau )d\tau }$

que es una ecuación del tipo (3) que es lineal en todos sus argumentos.

Para un material elastoplástico, los efectos "de memoria" del material se representan mediante una variable interna, asociada a la deformación plástica, cuyo valor numérico va a depender de la historia pasada del material: Pero como solo importa el valor actual de la variable interna las variables seguirán definidas sobre un espacio de dimensión finita. Un material elastoplástico no dependiente de la velocidad de deformación puede representarse por una sistema de ecuaciones del tipo:

(4)${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=T({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t),{\boldsymbol {\xi }}(\mathbf {x} ,t);\mathbf {x} ),\qquad \qquad {\dot {\boldsymbol {\xi }}}=\Phi ({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t),{\boldsymbol {\xi }}){\boldsymbol {\dot {\varepsilon }}}}$

Donde las variables internas ${\displaystyle \scriptstyle \xi }$ incluyen la deformación plástica y posiblemente otras magnitudes. Si el material es viscoelastoplástico entonces hay que complicar un poco más la primera ecuación anterior:

(5)${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=T({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t),{\boldsymbol {\dot {\varepsilon }}}(\mathbf {x} ,t),{\boldsymbol {\xi }}(\mathbf {x} ,t);\mathbf {x} )}$

Para sólidos elásticos y viscoelásticos la ecuación constitutiva, de acuerdo con el procedimiento de Coleman-Noll, puede derivarse de la existencia de una función de densidad energía almacenada. En el caso que sólidos que puedan sufrir cambios de temperatura o entropía al deformase debe substituirse la función de densidad de energía por la energía libre de Helmholtz ${\displaystyle \Psi (C_{AB},\Gamma _{\alpha },T)}$ por unidad de volumen. Usualmente la forma de la potencial de energía libre se toma de la forma:[1]

(6)${\displaystyle \Psi (\mathbf {C} ,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{m},T)=\Psi _{\mathrm {vol} }^{\infty }(J,T)+\Psi _{\mathrm {iso} }^{\infty }(\mathbf {\bar {C}} ,T)+\sum _{\alpha =1}^{m}\Upsilon _{\alpha }(\mathbf {\bar {C}} ,\Gamma _{\alpha },T)}$

donde:

${\displaystyle \mathbf {C} ,\mathbf {\bar {C}} }$, es el tensor de Cauchy diestro y su parte desviadora.

${\displaystyle J\,}$, jacobiano del gradiente de deformación.

${\displaystyle \Gamma _{\alpha }}$ son variables que caracterizan el comportamiento de fluencia lenta y de relajación.

${\displaystyle T\,}$ es la temperatura.

En esa formulación el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff puede obtenerse como:

(7)${\displaystyle S_{AB}=2{\frac {\partial \Psi }{\partial C_{AB}}}}$

donde:

${\displaystyle C_{AB}}$ son las componentes del tensor Cauchy diestro a partir del cual se define el tensor de deformación material de Green-Lagrange.

Para materiales que tienen un comportamiento elástico lineal, o aproximadamente lineal, para pequeñas o moderadas deformaciones. El cálculo de tensiones y deformaciones puede hacerse usando la teoría lineal de la elasticidad. Esta teoría resuelve los problemas de mecánica de sólidos planteando un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Desde el punto de vista físico los diversos subsistemas de ecuaciones que incluye esta teoría son:

• Ecuaciones de equilibrio interno: que relacionan las fuerzas volumétricas (b_i) con las derivadas de las tensiones (σ_ij) en el interior del sólido:

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial z}}+b_{x}=0\qquad {\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial z}}+b_{y}=0\qquad {\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+b_{z}=0}$

• Ecuaciones de equilibrio externo: Que relacionan las fuerzas superficiales o fuerzas de contacto (f_i) aplicadas en la superficie del sólido con el valor de las tensiones en el contorno del sólido:

${\displaystyle \sigma _{xx}\ n_{x}+\sigma _{xy}\ n_{y}+\sigma _{xz}\ n_{z}=f_{x}\qquad \sigma _{yx}\ n_{x}+\sigma _{yy}\ n_{y}+\sigma _{yz}\ n_{z}=f_{y}\qquad \sigma _{zx}\ n_{x}+\sigma _{zy}\ n_{y}+\sigma _{zz}\ n_{z}=f_{z}}$

• Ecuaciones constitutivas o ecuaciones de Lamé-Hooke. Son ecuaciones algebraicas y lineales que relacionan el valor de las componentes del tensor tensión con el valor del tensor deformación:

${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{xx}-\nu (\sigma _{yy}+\sigma _{zz})\right)\qquad \varepsilon _{xy}={\frac {(1+\nu )}{E}}\sigma _{xy}}$

${\displaystyle \varepsilon _{yy}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{yy}-\nu (\sigma _{xx}+\sigma _{zz})\right)\qquad \varepsilon _{yz}={\frac {(1+\nu )}{E}}\sigma _{yz}}$

${\displaystyle \varepsilon _{zz}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{zz}-\nu (\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\right)\qquad \varepsilon _{xz}={\frac {(1+\nu )}{E}}\sigma _{xz}}$

• Relación entre desplazamientos y deformaciones. Que relacionan las componentes del tensor de deformaciones (ε_ij) con las componentes del vector de desplazamiento u = (u_x, u_y, u_z):

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={1 \over 2}\left({\partial u_{i} \over \partial x_{j}}+{\partial u_{j} \over \partial x_{i}}\right)}$

• Condiciones de contorno, que fijan el valor del desplazamiento para algunos puntos del contorno exterior, normalmente los puntos que sean puntos de unión del sólido deformable a alguna otra estructura o elemento resistente sobre el que se apoye o ancle.

Ciertos problemas sencillos de la mecánica de sólidos deformables con geometrías simples pueden tratarse mediante la resistencia de materiales clásica. En especial para el cálculo de vigas y cuando la concentración de tensiones no es particularmente pueden plantearse ecuaciones diferenciales ordinarias en una variable para el cálculo de tensiones y deformaciones, lo cual hace muy fácil el encontrar soluciones analíticas que aproximen las tensiones del problema real tridimensional.

Además, muchos problemas que son indeterminados según el modelo de la mecánica del sólido rígido (problemas hiperestáticos), son resolubles en el modelo de sólidos deformables gracias a que se usan ecuaciones adicionales (ecuación constitutiva y ecuaciones de compatibilidad). Normalmente estas ecuaciones adicionales se escriben en términos de esfuerzos, deformaciones o desplazamientos (Véase también: teoremas de Castigliano, ecuaciones de Navier-Bresse, teoremas de Mohr).

Una de las principales aplicaciones de la mecánica de sólidos deformables es el cálculo de estructuras en ingeniería y arquitectura. Como campo de estudio, la mecánica de sólidos deformables forma parte de la mecánica de medios continuos. Cabe señalar que los métodos simplifcados usados en resistencia de materiales también pueden extenderse a materiales con cierto tipo de plasticidad o materiales viscoelásticos, por lo que la resistencia de materiales no está limitada estrictamente a materiales elásticos, aunque en la práctica la resistencia de materiales no elásticos es poco usada en la práctica, siendo más común el uso de códigos basados en elementos finitos u otros métodos computacionales y el tratamiento no simplificado de la geometría.

• Holzapfel, G.A. (2000). Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering. John Wiley & Sons. ISBN 9780471823193. (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• Antman, Stuart (2006). Nonlinear Problems of Elasticity. Springer. ISBN 0387276491.