Sistema de ecuaciones diferenciales

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

${\displaystyle F_{i}\left(x_{j},{\frac {dx_{j}}{dt}},\ldots ,{\frac {d^{n}x_{j}}{dt^{n}}};t\right)=0\qquad {\mbox{con}}\ i,j\in \{1,2,\ldots ,m\}}$

Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1) x m ecuaciones. Para ver esto consideremos un sistema en que intervienen m funciones incógnitas x_i y sus n derivadas, e introduzcamos un nuevo conjunto de variables y_i,k definidos de la siguiente manera:

${\displaystyle y_{i,k}(t):={\frac {d^{k}x_{i}(t)}{dt^{k}}}}$

El sistema de primer orden equivalente en las variables y_i,k resulta ser:

${\displaystyle {\begin{cases}y_{i,k+1}={\cfrac {dy_{i,k}}{dt}}&k\in \{0,2,\ldots ,n-1\}\\F_{i}\left(y_{j,0},y_{j,1},\ldots ,y_{j,n};t\right)=0&i,j\in \{1,2,\ldots ,m\}\end{cases}}}$

Como ejemplo de reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos considerar las ecuaciones de movimiento de la mecánica newtoniana de una partícula que es un sistema de segundo orden con tres ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{cases}m{\cfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F_{x}\left(x,y,z;{\cfrac {dx}{dt}},{\cfrac {dy}{dt}},{\cfrac {dz}{dt}};t\right)\\m{\cfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}=F_{y}\left(x,y,z;{\cfrac {dx}{dt}},{\cfrac {dy}{dt}},{\cfrac {dz}{dt}};t\right)\\m{\cfrac {d^{2}z}{dt^{2}}}=F_{z}\left(x,y,z;{\cfrac {dx}{dt}},{\cfrac {dy}{dt}},{\cfrac {dz}{dt}};t\right)\end{cases}}}$

Si se introducen tres funciones incógnita nuevas que representan la velocidad, el sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {dx}{dt}}=v_{x}(t),&m{\cfrac {dv_{x}}{dt}}=F_{x}\left(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t\right)\\{\cfrac {dy}{dt}}=v_{y}(t),&m{\cfrac {dv_{y}}{dt}}=F_{y}\left(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t\right)\\{\cfrac {dz}{dt}}=v_{z}(t),&m{\cfrac {dv_{z}}{dt}}=F_{z}\left(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t\right)\end{cases}}}$

Un sistema de ecuaciones diferenciales general tiene la forma

(*)${\displaystyle {\dot {X}}(t)=A(t)X(t)+f(t),\qquad X(t_{0})=X_{0},\ t_{0}\in [t_{1},t_{2}]}$,

donde:

${\displaystyle {f}(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ es una función vectorial.

${\displaystyle A(t)\in {\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})}$ es una función matricial.

Aplicando el Teorema de Picard-Lindelöf a los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma (*), se establece la existencia y unicidad de la solución de dicho sistema en las que tanto la matriz ${\displaystyle A(t)}$ como la función ${\displaystyle f(t)}$ sean continuas en un intervalo compacto ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$.

La demostración se basa en el hecho de que la función ${\displaystyle F(t,X)=A(t)X+f(t)}$ es Lipschitz respecto a ${\displaystyle X}$, para todo ${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n}}$ si ${\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]}$. A partir del resultado del teorema se puede concluir que la sucesión de Picard

${\displaystyle X_{k+1}=X_{0}+\int _{t_{0}}^{t}(A(s)X_{k}(s)+f(s))\ ds}$

converge a la solución.

En el caso de los sistemas lineales, si la matriz del sistema es de coeficientes constantes podemos resolver el sistema usando el método de los autovalores.

Sea el sistema lineal homogéneo:

${\displaystyle X^{'}(t)=A\cdot X(t)}$, con ${\displaystyle A\in M_{n}}$

Comenzamos encontrando los puntos críticos del sistema, es decir, aquellos valores ${\displaystyle X}$ donde:

${\displaystyle X^{'}(t)=0\Leftrightarrow A\cdot X(t)=0\Leftrightarrow X(t)\in Ker(A)}$

Si ${\displaystyle Ker(A)={0}}$ entonces solo hay un punto crítico. Pero si${\displaystyle Ker(A)\neq 0}$, entonces existe ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}\neq 0}$ tal que ${\displaystyle A{\overrightarrow {u}}=A(\beta {\overrightarrow {u}})=0}$, ${\displaystyle \beta {\overrightarrow {u}}}$ es una recta por lo que tenemos rectas de puntos críticos. Estas son las soluciones fijas, no cambian con el paso del tiempo.

Por otra parte, si ${\displaystyle \lambda }$ es el autovalor de ${\displaystyle A}$ correspondiente al vector ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ tenemos ${\displaystyle A{\overrightarrow {v}}=\lambda {\overrightarrow {v}}}$

Cada uno de los ${\displaystyle k}$ autovalores de la matriz nos dará información para construir una solución ${\displaystyle x_{k}(t)}$ para el sistema.

La solución anterior depende de la naturaleza del autovalor:

Raíz real única: En este caso la solución para un valor ${\displaystyle \lambda }$ concreto viene dada directamente por ${\displaystyle x_{\lambda }(t)=e^{\lambda t}}$.

Raíz real de multiplicidad ${\displaystyle j}$: En este caso no podemos expresar la solución como antes, ya que si lo hacemos tendríamos información redundante.

En este caso las soluciones para un valor de ${\displaystyle r}$ se construyen multiplicando la función exponencial por ${\displaystyle t}$ como sigue: ${\displaystyle x_{\lambda ,1}(t)=e^{\lambda t},\ x_{\lambda ,2}(t)=t\cdot e^{\lambda t},\ \dots \ ,\ x_{\lambda ,j}(t)=t^{j-1}\cdot e^{\lambda t}}$

La solución es la combinación lineal de las anteriores: ${\displaystyle x_{\lambda }(t)=\sum _{i=1}^{j}{\tilde {c}}_{i}\cdot x_{\lambda ,i}(t)}$

Raíces complejas: Hay que tener en cuenta que siempre vienen en parejas de números conjugados.

En este caso usamos distinguimos la parte real y la imaginaria de la raíz y posteriormente usamos la fórmula de Euler y añadiendo constantes.

${\displaystyle x_{\lambda }(t)=e^{\lambda t}=e^{[Re(\lambda )+iIm(\lambda )]t}=e^{Re(\lambda )t}\cdot e^{iIm(\lambda )t}=e^{Re(\lambda )t}\ \cdot [c_{1}cos(Im(\lambda ))+c_{2}isen(Im(\lambda ))]}$

La solución general al sistema homogéneo será, finalmente una combinación lineal de todas ellas multiplicadas cada una de ellas por su autovector correspondiente:

${\displaystyle X(t)=c_{1}\cdot x_{\lambda _{1}}{\overrightarrow {v_{1}}}+c_{2}\cdot x_{\lambda _{2}}{\overrightarrow {v_{2}}}+...+c_{k}\cdot x_{\lambda _{k}}{\overrightarrow {v_{k}}}}$, donde ${\displaystyle c_{1},c_{2},...,c_{n}}$ son constantes.

La solución anterior puede reescribirse de forma matricial como:

Si se trata de un problema de valor inicial, los valores de ${\displaystyle c_{1},c_{2},...,c_{n}}$ se determinan a partir del dato inicial.

Ejemplo del problema homogéneo

Consideremos el siguiente problema de valor inicial:

${\displaystyle X^{'}(t)={\begin{bmatrix}x_{1}^{'}(t)\\x_{2}^{'}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\3&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\3&2\end{bmatrix}}\cdot X(t)\qquad X(0)={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

Los valores propios de la matriz son ${\displaystyle a=4}$ y ${\displaystyle b=-1}$ con los autovectores asociados ${\displaystyle {\overrightarrow {v_{a}}}={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}},{\overrightarrow {v_{b}}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$;

La matriz fundamental asociada a dicho sistema homogéneo sería: ${\displaystyle \phi (t)={\begin{bmatrix}2e^{4t}&e^{-t}\\3e^{4t}&-e^{-t}\end{bmatrix}}}$

Y la matriz fundamental principal quedaría: ${\displaystyle \phi (t)={\begin{bmatrix}{\tfrac {2e^{5t}+3}{5e^{t}}}&{\tfrac {2e^{5t}-2}{5e^{t}}}\\{\tfrac {3e^{5t}-3}{5e^{t}}}&{\tfrac {3e^{5t}+2}{5e^{t}}}\end{bmatrix}}}$

Otro método para resolver este tipo de sistemas es utilizar la exponencial matricial:

Sea ${\displaystyle X'=A\cdot X,A\in M_{n}}$:

Entonces la solución viene dada por la exponencial de la matriz A; para calcularla, utilizando las iteraciones de Picard, distinguiremos los siguientes casos:

• A es diagonal:

${\displaystyle \ e^{A}={\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}}&0&0&\dots &0\\0&e^{\lambda _{2}}&0&\dots &0\\\dots &&&\dots \\0&0&0&\dots &e^{\lambda _{k}}\end{bmatrix}}}$

La solución general será ${\displaystyle \ e^{At}}$.

• A no es diagonal, pero diagonaliza:

Si la matriz A diagonaliza puede expresarse de la forma: ${\displaystyle A=SDS^{-1}}$ donde D es una matriz diagonal y así tendríamos ${\displaystyle e^{A}=Se^{D}S^{-1}}$.

En este caso la solución general a nuestro problema será ${\displaystyle e^{At}=Se^{Dt}S^{-1}}$

• A no diagonaliza:

Si la matriz A no diagonaliza en general se puede escribir de la forma ${\displaystyle A=SJS^{-1}}$donde J es la forma de Jordan de la matriz A (Forma canónica de Jordan) y ahora sólo se necesita calcular la exponencial de un bloque de Jordan para terminar calculando la exponencial de la matriz J como la matriz que tiene por bloques la exponencial de cada uno de los bloques de Jordan.

Primero descompondremos cada bloque de Jordan en dos matrices más simples:

${\displaystyle \ J_{r}(\lambda )=D_{r}(\lambda )+N_{r}}$

donde ${\displaystyle \ D_{r}}$ es una matriz diagonal ${\displaystyle r\cdot r}$ que contiene a ${\displaystyle \lambda }$ en sus elementos diagonales y${\displaystyle \ N_{r}}$ una matriz nilpotente ${\displaystyle r\cdot r}$ de la forma:

${\displaystyle N_{r}={\begin{bmatrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\\dots &&&\dots \\0&0&0&\dots &1\\0&0&0&\dots &0\end{bmatrix}}}$ Utilizando lo anterior, podemos definir: ${\displaystyle e^{N_{r}}={\begin{bmatrix}1&1&1/2&\dots &1/(r-1)!\\0&1&1&\dots &1/(r-2)!\\\dots &&&\dots \\0&0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}$

Por tanto, ${\displaystyle e^{J_{r}(\lambda )}=e^{D_{r}(\lambda )}e^{N_{r}}}$

Quedando así:

${\displaystyle e^{A}=Se^{J}S^{-1}}$. Por tanto, la solución general al problema será: ${\displaystyle e^{At}=Se^{Jt}S^{-1}}$

Sea el problema no homogéneo:

${\displaystyle X^{'}(t)=A\cdot X(t)+{\overrightarrow {b(t)}}}$, con ${\displaystyle A\in M_{n}}$

Entonces la solución general es de la forma ${\displaystyle X_{g}(t)=X_{gh}(t)+X_{p}(t)}$, donde ${\displaystyle X_{gh}(t)}$ es la solución general del problema homogéneo y ${\displaystyle X_{p}(t)}$ es una solución particular del no homogéneo.

Una vez obtenida una solución general para el problema homogéneo ${\displaystyle X_{gh}(t)}$, (recordemos que: ${\displaystyle X_{gh}(t)=\phi (t)\cdot {\overrightarrow {c}}}$, siendo ${\displaystyle {\overrightarrow {c}}}$ un vector de constantes), para calcular ${\displaystyle X_{p}(t)}$ utilizamos el método de variación de las constantes, donde buscamos convertir los coeficientes ${\displaystyle c_{i}}$ del vector ${\displaystyle {\overrightarrow {c}}}$ en funciones.

Queremos soluciones de la forma ${\displaystyle \phi (t)\cdot {\overrightarrow {\alpha (t)}}}$, por lo que imponemos que sea solución de nuestro problema.

${\displaystyle [\phi \cdot {\overrightarrow {\alpha }}]'=A\cdot \phi \cdot {\overrightarrow {\alpha }}+{\overrightarrow {b}}}$

Como ${\displaystyle \phi (t)}$ es solución fundamental, ${\displaystyle \phi '(t)=A\cdot \phi (t)}$ .

Si ahora calculamos dicha derivada por la regla de la cadena y utilizando la propiedad anterior de ${\displaystyle \phi (t)}$, tenemos que:

${\displaystyle [\phi \cdot {\overrightarrow {\alpha }}]'=\phi '\cdot {\overrightarrow {\alpha }}+\phi \cdot {\overrightarrow {\alpha '}}=A\cdot \phi \cdot {\overrightarrow {\alpha }}+\phi \cdot {\overrightarrow {\alpha '}}}$.

Luego volviendo a nuestra ecuación y comparando, nos queda que ${\displaystyle \phi (t)\cdot {\overrightarrow {\alpha '(t)}}={\overrightarrow {b(t)}}}$. Despejamos:

${\displaystyle {\overrightarrow {\alpha '(t)}}=(\phi (t))^{-1}\cdot {\overrightarrow {b(t)}}}$. Integramos:

${\displaystyle {\overrightarrow {\alpha (t)}}=\int _{t_{0}}^{t}(\phi (s))^{-1}\cdot {\overrightarrow {b(t)}}\,{\text{d}}s}$

Por lo que hemos obtenido que la solución particular del problema no homogéneo es${\displaystyle X_{p}(t)=\phi (t)\cdot {\overrightarrow {\alpha (t)}}=\phi (t)\cdot \int _{t_{0}}^{t}(\phi (s))^{-1}\cdot {\overrightarrow {b(t)}}\,{\text{d}}s}$.

Finalmente: ${\displaystyle X_{g}(t)=\phi (t)\cdot {\overrightarrow {c}}+\phi (t)\cdot \int _{t_{0}}^{t}(\phi (s))^{-1}\cdot {\overrightarrow {b(t)}}\,{\text{d}}s}$

(Recordemos que los valores de ${\displaystyle c_{1},c_{2},...,c_{n}}$ se determinan a partir del dato inicial del PVI).

Ejemplo del problema no homogéneo

Por último, estudiaremos un problema no homogéneo con autovalores imaginarios para ilustrar otro ejemplo.

${\displaystyle X(t)={\begin{bmatrix}x_{1}^{'}(t)\\x_{2}^{'}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-5\\1&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\csc t\\\sec t\end{bmatrix}}}$

Primero hallamos la solución del caso homogéneo:

Los valores propios de la matriz son ${\displaystyle \pm {i}}$. La matriz fundamental principal asociada a este problema es: ${\displaystyle \phi (t)={\begin{bmatrix}2sint+cos(t)&-5sin(t)\\sin(t)&cos(t)-2sin(t)\end{bmatrix}}}$

Ahora resolvemos la parte no homogénea:

Usando las fórmulas vistas, nuestro vector ${\displaystyle {\overrightarrow {\alpha (t)}}}$ resulta: ${\displaystyle {\overrightarrow {\alpha (t)}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {2}{3}}t+ln(({\tfrac {sent}{cost}})^{1/5})\\{\tfrac {-4}{5}}t+{\tfrac {2}{5}}ln(sen(t))\end{bmatrix}}}$

Por lo visto anteriormente nuestra solución general del problema no homogéneo tendrá la siguiente forma sustituyendo los datos antes calculados:

${\displaystyle X_{g}(t)=\phi (t)\cdot {\overrightarrow {c}}+\phi (t)\cdot {\overrightarrow {\alpha (t)}}}$

• Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones (2ª edición). Grupo Editorial Iberoamérica.
• Aranda Iriarte, José Ignacio (2008). Apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid.
• Birkhoff, Garrett; Rota, Gian-Carlo (1978). Ordinary Differential Equations. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 0-471-07411-X.
• Gershenfeld, Neil (1999). The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57095-4.
• Robinson, James C. (2004). An Introduction to Ordinary Differential Equations. Cambridge University Press. ISBN 0-521-82650-0.
• Simmons, G.F. (2016). Differential equations with applications and historical notes. CRC Press.

• Teschl, G. (2012). Ordinary equations and dynamical systems. American Mathematical Society.
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• Blanchard, P.; Devaney, R.L. (2012). Differential equations. Cengage Learning.
• Gil, O. (1999). Curso introductorio a las ecuaciones diferenciales. Facultad de ingeniería de la Universidad de la República de Uruguay.
• Gutermuth, Denise. Picard’s existence and uniqueness theorem.

• Ecuaciones diferenciales de primer orden
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