Regla de la cadena

Si las funciones son diferenciables en todo su dominio podemos escribir de una forma más general ${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'}$. Bajo esta misma condición, utilizando la notación de Leibniz si denotamos como ${\displaystyle g^{\prime }={\frac {df}{dx}}}$ tenemos que la regla de la cadena puede escribirse como ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(f\circ g)}{dx}}&={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle {\frac {df}{dg}}}$ indica que ${\displaystyle f}$ depende de ${\displaystyle g}$ como si ${\displaystyle g}$ fuera una variable. Para una mejor lectura es común hacer ${\displaystyle u=g(x)}$ y obtenemos:

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}(f\circ g)}{{\text{d}}x}}={\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}u}}\cdot {\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}x}}}$.

Si queremos componer muchas funciones podemos hacer lo siguiente: dadas ${\displaystyle n}$ funciones ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ y la función compuesta ${\displaystyle f_{1}\circ (f_{2}\circ \cdots (f_{n-1}\circ f_{n}))}$, si cada función ${\displaystyle f_{i}}$ es diferenciable entonces la función compuesta también es diferenciable (por la regla de la cadena repetida varias veces) y su derivada es (en la notación de Leibniz)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df_{1}}{dx}}&={\frac {df_{1}}{df_{2}}}\cdot {\frac {df_{2}}{df_{3}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {df_{n}}{dx}}\end{aligned}}}$

En particular si ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle F=\mathbb {R} ^{m}}$ y ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{p}}$, la matriz jacobiana de ${\displaystyle f\circ g}$ en el punto ${\displaystyle a}$ es el producto de aquella de ${\displaystyle f}$ en el punto ${\displaystyle g(a)}$ por la de ${\displaystyle g}$ en el punto ${\displaystyle a}$, podemos escribir esto en la forma siguiente

${\displaystyle g(y)=(g_{1}(y),\ldots ,g_{p}(y)),\qquad f(x)=(f_{1}(x),\ldots ,f_{m}(x))\quad {\text{y}}\quad (f\circ g)(x)=h(x)=(h_{1}(x),\ldots ,h_{p}(x))}$ :

${\displaystyle {\frac {\partial h_{i}}{\partial x_{j}}}(a)=\sum _{k=1}^{m}{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}(g(a)){\frac {\partial g_{k}}{\partial x_{j}}}(a)}$

para todo ${\displaystyle i\in {1,\dots ,p}}$ e ${\displaystyle i\in {1,\dots ,n}}$.

Denotemos ${\displaystyle b=f(a)}$. Dado que ${\displaystyle g}$ es diferenciable en ${\displaystyle b}$, desde la definición de la derivada, existe una función ${\displaystyle u:J\to \mathbb {R} }$ tal que

${\displaystyle u(b)=\lim _{y\to b}u(y)=g'(b)\quad {\text{ y }}\quad \forall y\in J\quad g(y)-g(b)=u(y)\cdot (y-b)}$.

En particular (utilizando que ${\displaystyle f}$ es continua en ${\displaystyle a}$ puesto que ella es diferenciable en ese punto):

${\displaystyle \lim _{x\to a}u(f(x))=g'(b)\quad {\text{ y }}\quad \forall x\in I\quad g(f(x))-g(f(a))=u(f(x))\cdot (f(x)-f(a))}$.

La tasa de variación en el punto ${\displaystyle a}$ de la función ${\displaystyle g\circ f}$ se expresa entonces bajo la forma:

${\displaystyle {\frac {g(f(x))-g(f(a))}{x-a}}=u(f(x))\cdot {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$

Y cuando ${\displaystyle x}$ tiende hacia ${\displaystyle a}$ (para valores distintos de ${\displaystyle a}$), esta expresión tiende hacia ${\displaystyle g'(b)\cdot f'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)}$.

Existe una demostración de este teorema, aparentemente más simple que utiliza la astucia

${\displaystyle {\dfrac {g(f(x))-g(f(a))}{x-a}}={\dfrac {g(f(x))-g(f(a))}{f(x)-f(a)}}\cdot {\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$,

pero esta demostración es errónea porque ella supone que ${\displaystyle f(x)\neq f(a)}$ para todo ${\displaystyle x}$ suficientemente cerca de ${\displaystyle a}$, lo cual no tiene ninguna razón de ser. Por ejemplo, una función constante. También podemos considerar el caso de la función ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } dada por

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right),&{\text{ si }}x\neq 0\\0,&{\text{ si }}x=0\end{cases}}}$

en donde podemos notar que ${\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{2\pi n}}\right)=0}$ para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Denotemos ${\displaystyle L=\mathrm {d} f_{a}}$ y ${\displaystyle M=\mathrm {d} g_{b}}$. Entonces:

• ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle L}$ son lineales y continuas, en particular: ${\displaystyle M(k)=O(\|k\|)}$ y ${\displaystyle L(h)=O(\|h\|)}$ (con la notación O de Landau),
• ${\displaystyle f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)}$,
• ${\displaystyle g(b+k)=g(b)+M(k)+o(\|k\|)}$.

En consecuencia:

• ${\displaystyle M\circ L}$ es lineal y continua,
• ${\displaystyle (g\circ f)(a+h)=g(b)+M\left[L(h)+o(\|h\|)\right]+o\left[\|L(h)+o(\|h\|)\|\right]=g(b)+(M\circ L)(h)+M\left[o(\|h\|)\right]+o\left[\|L(h)+o(\|h\|)\|\right]}$,
• ${\displaystyle M\left[o(\|h\|)\right]=O\left[\|o(\|h\|)\|\right]=o(\|h\|)}$ y ${\displaystyle o\left[\|L(h)+o(\|h\|)\|\right]=o\left[\|O(\|h\|)\|\right]=o(\|h\|)}$.

En este enunciado y su demostración, no es necesario que ${\displaystyle G}$ sea un espacio vectorial normado: es suficiente que sea un espacio vectorial topológico separable.

La regla de la cadena puede ser utilizada para obtener algunas fórmulas para derivar, por ejemplo, la regla del cociente es una consecuencia de la regla de la cadena y la regla del producto; para esto, consideremos las funciones ${\displaystyle f,g:I\rightarrow \mathbb {R} }$ con ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ para todo ${\displaystyle x\in I}$, escribimos entonces el cociente ${\displaystyle f(x)/g(x)}$ como el producto ${\displaystyle f(x)\cdot 1/g(x)}$, utilizando primero la regla del producto:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&={\frac {d}{dx}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right)\end{aligned}}}$

para todo ${\displaystyle x\in I}$. Para calcular la derivada de la función ${\displaystyle x\mapsto 1/g(x)}$ notemos que puede escribirse como la composición de ${\displaystyle g}$ con la función recíproco ${\displaystyle x\mapsto 1/x}$, cuya derivada es ${\displaystyle x\mapsto -1/x^{2}}$, aplicando la regla de la cadena la expresión anterior queda como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)\right)\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\end{aligned}}}$

para todo ${\displaystyle x\in I}$, que es la fórmula de la regla del cociente.

Considere la función diferenciable e invertible ${\displaystyle g:I\rightarrow J}$ con ${\displaystyle I,J\subset \mathbb {R} }$ intervalos abiertos con inversa diferenciable ${\displaystyle f:J\rightarrow I}$. Existe una fórmula para la derivada de ${\displaystyle f}$ en términos de la derivada de ${\displaystyle g}$, para esto, note que ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ satisfacen la ecuación

${\displaystyle f(g(x))=x\quad {\text{ para todo }}\quad x\in I,}$

en donde derivando ambas expresiones obtenemos

${\displaystyle f'(g(x))g'(x)=1\quad {\text{ para todo }}x\in I.}$

Para expresar ${\displaystyle f'}$ como una función de una variable independiente ${\displaystyle y\in J}$, escribimos ${\displaystyle x=f(y)}$ y resolvemos para ${\displaystyle f'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))&=1\\f'(y)g'(f(y))&=1\\f'(y)&={\frac {1}{g'(f(y))}}\end{aligned}}}$

para todo ${\displaystyle y\in J}$.

Es importante tener en mente las condiciones de diferenciabilidad de ambas funciones ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ en sus respectivos dominios, la invertibilidad y diferenciabilidad de una función no implica que esta última condición sea satisfecha por su inversa (conocido es el caso de la función ${\displaystyle x\mapsto x^{3}}$ la cual es diferenciable e invertible pero su inversa no es diferenciable en ${\displaystyle 0}$).

Por ejemplo, considere la función ${\displaystyle g(x)=e^{x}}$, esta tiene función inversa ${\displaystyle f(y)=\ln y}$, como ${\displaystyle g'(x)=e^{x}}$ entonces por la fórmula anterior

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\ln y={\frac {1}{e^{\ln y}}}={\frac {1}{y}}}$

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Sean las funciones ${\displaystyle y:(0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle u:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}y(u)&=\ln(u)\\u(x)&=\cos(x)\end{aligned}}}$

y deseamos calcular ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}}$.

Por un lado tenemos:

${\displaystyle {\frac {dy}{du}}={\frac {1}{u}}}$

y

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-\operatorname {sen}(x)}$

como

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{u}}\cdot (-\operatorname {sen} x)\\&=-{\frac {\operatorname {sen} x}{u}}\\&=-{\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}\\&=-\tan {x}\end{aligned}}}$

y esto es para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle \cos(x)\in (0,+\infty )}$, es decir, para todo ${\displaystyle x\in \bigcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(-{\frac {\pi }{2}}+2n\pi ,{\frac {\pi }{2}}+2n\pi \right)}$.