Material simple

Para un material simple (sólido deformable o fluido), el tensor tensión (de Cauchy) viene dado por una relación del tipo:

(1)${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(X,t)={\mathcal {F}}(\mathbf {F} _{t}(X,\cdot ),X,t)}$

donde:

${\displaystyle {\mathcal {F}}:H^{m}(\Omega )\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} \to {\text{Sym}}(T_{2}^{0}(\Omega ))}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{t}(X,\cdot )\in H^{m}(\Omega )}$, desinga un espacio de Sóbolev (aunque esta parte de la definición es prescindible y se puede usar otro tipo de espacio funcional conveniente).

${\displaystyle (X,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} }$, denotan las coordenadas materiales y el tiempo.

${\displaystyle {\text{Sym}}(T_{2}^{0}(\Omega ))}$ designa el fibrado tangente formado por tensores covariantes de segundo orden simétricos.

${\displaystyle \mathbf {F} _{t}(X,s):=\mathbf {F} (X,t-s)}$, por definición, para ${\displaystyle \forall s\in [0,\infty )}$

La función definida por ${\displaystyle \mathbf {F} _{t}(X,\cdot )}$ se denomina "historia hasta el instante t". La condición de que un material sea simple, es una de las simplificaciones más importantes propuestas por Noll,[1][2] que define una importante clase de medios continuos.

Noll demostró que el funcional ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ para materiales simples satisface el principio de objetividad material, si y sólo si es independiente del tiempo t[1][3] Esto implica que un material simple y objetivo tiene una ecuación constitutiva de la forma:

(2)${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(X,t)={\mathcal {F}}(\mathbf {F} _{t}(X,\cdot ),X)}$