Fibrado tangente

Supongamos que M es una variedad diferenciable C^k, y φ: U → Rⁿ donde U es un subconjunto abierto de M, y n es la dimensión de la variedad, en la carta φ(·) además supóngase que T_pM es el espacio tangente en un punto p de M. Entonces el fibrado tangente, es la unión disjunta de los espacios tangentes a diferentes puntos de la variedad:

${\displaystyle TM=\bigsqcup _{p\in M}T_{p}M=\bigcup _{p\in M}\left\{p\right\}\times T_{p}M.}$

donde T_pM denota el espacio tangente a M en el punto p. Así, un elemento de TM se puede pensar como un par ordenado (p, v), donde p es un punto de M y v es un vector tangente a M en el punto p. Existe una proyección:

${\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}$

definida por π(p, v) = p. Esta proyección "colapsa" cada espacio tangente T_pM en un único punto x.

Es útil, para distinguir entre el fibrado y el espacio tangente, considerar sus dimensiones, 2n, n respectivamente. Es decir, el fibrado tangente considera dimensiones tanto de las posiciones en la variedad así como de las direcciones tangentes.

Puesto que podemos definir una función de la proyección, π para cada elemento del fibrado tangente que da el elemento en la variedad cuyo espacio tangente contiene el primer elemento, todo fibrado tangente es también un fibrado.[1]