Espacio tangente

Hay varias formas de entender este concepto. Primero vamos a explicar utilizando la gráfica de la fig.1. Empecemos suponiendo que tenemos una curva ${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$ en la variedad M que pasa por alguna posición elegida cualquiera: ${\displaystyle \scriptstyle x\in M}$. Es decir una aplicación ${\displaystyle \scriptstyle \gamma \$ :\ [-\varepsilon ,\varepsilon ]\to M} diferenciable que satisface ${\displaystyle \scriptstyle \gamma (0)=x}$ y ${\displaystyle \scriptstyle \gamma '(0)=v}$. Resulta que el conjunto de todos estos vectores tangentes a la curva en el punto x forman el espacio tangente ${\displaystyle \scriptstyle T_{x}M}$ de x en M.

Si se tiene una variedad diferencial inmersa en ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ dada por la ecuación ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {f} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0}$ entonces el espacio tangente en un punto de dicha variedad ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in {\mathcal {M}}}$ viene dado por la ecuación:

${\displaystyle {\begin{matrix}D\mathbf {f} (\mathbf {a} )(\mathbf {x-a} )=0\Rightarrow \\\\{\begin{bmatrix}\partial _{x_{1}}f_{1}(\mathbf {a} )&\dots &\partial _{x_{n}}f_{1}(\mathbf {a} )\\\dots &\dots &\dots \\\partial _{x_{1}}f_{n}(\mathbf {a} )&\dots &\partial _{x_{n}}f_{n}(\mathbf {a} )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}-a_{1}\\\dots \\x_{n}-a_{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} \end{matrix}}}$

Donde ${\displaystyle D\mathbf {f} (\mathbf {a} )}$ es la matriz jacobiana o diferencial de la función.

• Vector normal
• Conjunto rectificable