Gradiente de deformación

Si pensamos que una deformación es una aplicación: ${\displaystyle T_{D}:K\subset \mathbb {R} ^{3}\rightarrow K'\subset \mathbb {R} ^{3}}$ donde K es el conjunto de puntos del espacio ocupados por el sólido (o medio continuo) antes de la deformación y K' el conjunto de puntos del espacio ocupados después de la deformación. Entonces podemos definir tensor gradiente de deformaciones como la derivada de T_D:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {D} T_{D}={\begin{pmatrix}{\cfrac {\partial x}{\partial X}}&{\cfrac {\partial x}{\partial Y}}&{\cfrac {\partial x}{\partial Z}}\\{\cfrac {\partial y}{\partial X}}&{\cfrac {\partial y}{\partial Y}}&{\cfrac {\partial y}{\partial Z}}\\{\cfrac {\partial z}{\partial X}}&{\cfrac {\partial z}{\partial Y}}&{\cfrac {\partial z}{\partial Z}}\end{pmatrix}}}$

Donde (X, Y, Z) representan las coordenadas de un punto genérico antes de la deformación y (x, y, z) las coordenadas del mismo punto después de la deformación.

El tensor de Cauchy-Green diestro ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {C} }$ es el pullback de la métrica euclídea asociada a la configuración deformada por tanto, dicho tensor viene dado por:

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} ,\qquad C_{B}^{A}=F_{a}^{A}F_{B}^{a}}$

Los tensores de deformación de Green-Lagrange ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {E} }$ y de Almansi ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {e} }$ también están relacionados con el gradiente de deformación:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} }{2}},\qquad \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}}{2}}}$

De la misma manera la definición del primer ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {P} }$ y segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {S} }$ involucran al gradiente de deformación:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {P} =J{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {F} ^{-T},&P_{aA}=J\sigma _{ab}F_{Ab}^{-1}\\\mathbf {S} =J\mathbf {F} ^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {F} ^{-T},&S_{AB}=J\sigma _{ab}F_{Aa}^{-1}F_{Bb}^{-1}=S_{BA}\end{matrix}}}$