Mecánica del sólido rígido

El centro de gravedad o centro de masas de un sistema continuo es el punto geométrico definido como:

(1)${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{CM}}={\frac {\int \mathbf {r} dm}{\int dm}}={\frac {\int \mathbf {r} dm}{M}}}$

En mecánica del cuerpo rígido, el centro de masa se usa porque tomando un sistema de coordenadas centrado en él, la energía cinética total K puede expresarse como ${\displaystyle \scriptstyle {K={1 \over 2}MV^{2}+K_{rot}}}$, siendo M la masa total del cuerpo, V la velocidad de traslación del centro de masas y K_rot la energía de rotación del cuerpo, expresable en términos de la velocidad angular y el tensor de inercia.

Sea una partícula cualquiera de un cuerpo rígido el cual se desplaza girando. Dado que todos los puntos están rígidamente conectados podemos hacer la siguiente descomposición de posición y velocidades, tomando un punto de referencia arbitrario ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$:

(2a)${\displaystyle \mathbf {r} (t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {r} _{c}(t)+\mathbf {r} (t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {r} _{c}(t)+A(t)\mathbf {r} _{0}}$

(2b)${\displaystyle \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {v} _{c}(t)+{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {R} (t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {v} _{c}(t)+{\boldsymbol {\omega }}(t)\times (\mathbf {r} (t,\mathbf {r} _{0})-\mathbf {y} _{c}(t))=\mathbf {v} _{c}(t)+{\boldsymbol {\omega }}(t)\times A(t)\mathbf {y} _{0}}$

(2c)${\displaystyle A'(t)\mathbf {r} _{0}={\boldsymbol {\omega }}(t)\times A(t)\mathbf {y} _{0}}$

Donde

• ${\displaystyle \mathbf {r} }$ es vector posición del punto o partícula
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{c}}$ es la posición de un punto de referencia del sólido
• ${\displaystyle A(t)\in SO(3)}$ es la orientación, que viene dada por una matriz ortogonal
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$ es la posición de la partícula con respecto al punto de referencia del cuerpo a lo largo del tiempo con una orientación variable.
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ es la posición de la partícula con respecto al punto de referencia del cuerpo en la orientación de referencia inicial.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ es la velocidad angular
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ es la velocidad total de la partícula
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{c}}$ es la velocidad "traslacional" o velocidad del punto de referencia.

El momento angular es una magnitud física importante porque en muchos sistemas físicos constituye una magnitud conservada, a la cual bajo ciertas condiciones sobre las fuerzas es posible asociarle una ley de conservación. El hecho de que el momento angular sea bajo ciertas circunstancias una magnitud cuyo valor permanece constante puede ser aprovechado en la resolución de las ecuaciones de movimiento. En un instante dado, y fijado un punto del espacio en un punto del espacio O, se define el momento angular L_O de un sistema de partículas respecto a ese punto como la integral siguiente:

${\displaystyle \mathbf {L} _{O}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} _{O}\times \mathbf {v} _{O})\quad dV}$

Donde ${\displaystyle V,\rho (\mathbf {r} )}$ son el volumen del sólido y la densidad másica en cada punto, y ${\displaystyle \mathbf {v} _{O},\mathbf {r} _{O}}$ son la velocidad de una partícula del cuerpo y el vector de posición respecto a O. Conviene recordar que el valor de la magnitud anterior depende de qué punto O se elija. Para el estudio de sólidos rígidos en movimiento conviene escoger un "punto móvil" (es decir, para cada instante del tiempo consideraremos un punto diferente del espacio). Por ejemplo podemos evaluar el momento angular respecto al centro de masas G del sólido:

(3)

${\displaystyle \mathbf {v} _{G}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\int _{V}\rho \left[\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\right]dV=\int _{V}\rho \left[(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ){\boldsymbol {\omega }}-\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }})\right]dV}$

Donde se ha introducido la abreviación${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{G}}$.

La mecánica lagrangiana para describir un sistema mecánico con un grado finito de grados de libertad se define como una variedad diferenciable llamada espacio de configuración. El movimiento del sistema o evolución con el tiempo se describe como un conjunto de trayectorias a lo largo del espacio de configuración. Para un cuerpo rígido con un punto inmóvil (solo existe rotación) el espacio de configuración viene dado por la variedad diferenciable del grupo de rotación SO(3). Cuando el sólido tiene traslación y rotación de todos sus puntos el espacio de configuración es E⁺(n), el subgrupo de isometría del grupo euclídeo (combinaciones de traslaciones y rotaciones.

Los ángulos de Euler son tres coordenadas angulares que permiten relacionar la orientación de un sistema de ejes respecto a otro. En mecánica del sólido rígido se consideran normalmente dos sistemas de referencia: un sistema de ejes fijo o asociado a un observador inercial y otro móvil respecto al primero pero solidario con el sólido rígido. Aunque técnicamente es posible plantear las ecuaciones de Newton para el sistema inercial relacionando las magnitudes del sistema asociado al sólido rígido mediante la matriz de rotación asociada a los ángulos de Euler, resulta un sistema de ecuaciones poco práctico debido a que en ese sistema el tensor de inercia varía con el tiempo. Por otro lado, los ángulos de Euler proporcionan tres coordenadas generalizadas adecuadas para describir el movimiento de sólidos rígidos mediante los métodos de la mecánica lagrangiana.

Cuando las ecuaciones del movimiento de un sólido rígido se expresan en un sistema de referencia no inercial solidario con los ejes principales de inercia del sólido rígido toman una fórmula particularmente simple conocida como ecuaciones de Euler. En general, en este sistema de referencia es mucho más sencillo integrar las ecuaciones de movimientos que en un sistema de referencia inercial y no solidario con el cuerpo. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de un sólido rígido tienen la forma:

${\displaystyle {\begin{matrix}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}&=&M_{1}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=&M_{2}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}&=&M_{3}\end{matrix}}}$

donde ${\displaystyle M_{k}\,}$ son las componentes vectoriales del momento o torque total aplicado, ${\displaystyle I_{k}\,}$ son los momentos principales de inercia y ${\displaystyle \omega _{k}}$ son las componentes del vector velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ según los ejes principales de inercia.

Se llama peonza simétrica a un sólido rígido de revolución, con dos de sus momentos de inercia principales iguales ${\displaystyle I_{1}=I_{2}\neq I_{3}}$. Como en una peonza simétrica se pueden escoger arbitrariamente los ejes 1 y 2, conviene aprovechar ese hecho para simplificar las expresiones tomando el eje 1 paralelo a la línea nodal de los ángulos de Euler lo cual equivale a que ψ = 0. Lo cual lleva a que las velocidades angulares en el sistema de referencia no inercial vengan dadas por:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{Bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\operatorname {sen} \theta \\{\dot {\phi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\end{Bmatrix}}}$

La energía cinética de rotación de una peonza simétrica puede expresarse en términos de los ángulos de Euler sencillamente:

${\displaystyle T_{rot}={\frac {1}{2}}\left(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{1}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}\right)={\frac {I_{1}}{2}}\left({\dot {\phi }}^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta +{\dot {\theta }}^{2}\right)+{\frac {I_{3}}{2}}\left({\dot {\phi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\right)^{2}}$

Por otro lado si se toma el eje Z del sistema de referencia alineado con el momento angular del sólido rígido se tiene que las componentes del momento angular y la relación con la velocidad angular son:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{Bmatrix}0\\M\operatorname {sen} \theta \\M\cos \theta \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{1}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}I_{1}{\dot {\theta }}\\I_{1}{\dot {\phi }}\operatorname {sen} \theta \\I_{3}{\dot {\phi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\end{Bmatrix}}}$

Escribiendo componente a componente estas ecuaciones se tiene que:

${\displaystyle {\dot {\theta }}=0\qquad I_{1}{\dot {\phi }}=M\qquad I_{3}\omega _{3}=I_{3}({\dot {\phi }}\cos \theta +{\dot {\psi }})=M\cos \theta }$

La primera ecuación nos dice que en el movimiento libre de una peonza simétrica esta no cabecea, es decir, no hay movimiento de nutación ya que el ángulo formado por eje de rotación y el momento angular se mantiene constante en el movimiento. La segunda describe el movimiento de precesión de acuerdo con el cual el eje de rotación (que coincide con la dirección de la velocidad angular) gira alrededor de la dirección del momento angular (eje Z). La tercera ecuación da la velocidad de rotación del sólido alrededor de su tercer eje de inercia.

Una peonza asimétrica es un sólido rígido tal que ninguno de sus tres momentos principales de inercia tiene el mismo valor, es común nombrarlos en orden ascendente como: ${\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}}$. En el movimiento de giro libre de una peonza tiene dos integrales de movimiento:

(6a)${\displaystyle {\frac {L_{1}^{2}}{I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{I_{3}}}=2E\;}$

(6b)${\displaystyle L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}=L^{2}\;}$

Como solo existen tres coordenadas angulares y existen esas dos restricciones las componentes del momento angular solo pueden variar a lo largo de una curva dada por la intersección del elipsoide (6a) y la esfera (6b). Así mismo puede verse que el giro alrededor de los ejes de inercia asociado a los momentos ${\displaystyle I_{1},I_{3}}$ es estable mientras que el asociado a ${\displaystyle I_{2}}$ es inestable, es decir, cualquier pequeña perturbación cambia drásticamente las trayectorias del movimiento. Para ${\displaystyle L^{2}>2EI_{2}}$ las ecuaciones paramétricas de variación de las velocidades angulares vienen dadas por las funciones elípticas de Jacobi:

${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-L^{2}}{I_{1}(I_{3}-I_{1})}}}{\mbox{cn}}\tau }$

${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-L^{2}}{I_{1}(I_{3}-I_{2})}}}{\mbox{sn}}\tau }$

${\displaystyle \omega _{3}={\sqrt {\frac {L^{2}-2EI_{1}}{I_{1}(I_{3}-I_{2})}}}{\mbox{dn}}\tau }$

con:

${\displaystyle \tau =t{\sqrt {\frac {(I_{3}-I_{2})(L^{2}-2EI_{1})}{I_{1}I_{2}I_{3}}}}}$

Si ${\displaystyle L^{2}<2EI_{2}}$ basta intercambiar los subíndices 1 y 3 en las anteriores expresiones.

Finalmente conviene observar que cuando ${\displaystyle I_{1}\to I_{2}}$ las funciones elípticas de Jacobi se reducen a funciones trigonométricas ordinarias, y las ecuaciones del movimiento se reducen a las de una peonza simétrica:

${\displaystyle {\mbox{sn}}\tau \to \operatorname {sen} \tau ,\quad {\mbox{cn}}\tau \to \cos \tau ,\quad {\mbox{dn}}\tau \to 1}$

• Landau, L.D.; Lifshitz E.M. (1991). «VI». En Reverté, ed. Mecánica (2ª edición). Barcelona. pp. 115-157. ISBN 84-291-4080-6. La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)
• Fernández Rañada, Antonio (2005). Fondo de Cultura Económica, ed. Dinámica Clásica (1ª edición). México DF. pp. 545-600. ISBN 84-206-8133-4.