Brahmagupta

Brahmagupta encontró la solución general de una ecuación lineal. Dicho descubrimiento queda descrito en el capítulo dieciocho de "Brāhmasphuṭasiddhānta":

La diferencia entre "rupas", cuando se invierte y se divide por la diferencia de las incógnitas, es la incógnita en la ecuación. Las rupas se restan en el lado debajo de la cual se debe restar el cuadrado y lo desconocido.

Lo anterior es una solución para la ecuación bx + c = dx + e equivalente a x = e − c/b − d, en donde la palabra "rupas" hace referencia a las constantes c y e.

Brahmagupta encontró dos valores de solución para la ecuación cuadrática:

18.44. Disminuir por el número medio la raíz cuadrada de las rupas multiplicada por cuatro veces el cuadrado y aumentada por el cuadrado del número medio; Divide el resto por el doble del cuadrado. El resultado es el número medio.
18.45. Cualquiera que sea la raíz cuadrada de las rupas multiplicada por el cuadrado y incrementada por el cuadrado de la mitad de lo desconocido, disminuya eso por la mitad de lo desconocido y divida el resto por su cuadrado. El resultado es lo desconocido.

que son respectivamente soluciones a la ecuación ax² + bx = c equivalentes a

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

y

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}.}$

Continuó resolviendo sistemas de ecuaciones indeterminadas simultáneas indicando que la variable deseada primero debe aislarse, y luego la ecuación debe dividirse por el coeficiente de la variable deseada. En particular, recomendó usar "el pulverizador" para resolver ecuaciones con múltiples incógnitas.

18.51. Resta los colores diferentes del primer color. El resto dividido por el primer coeficiente del color es la medida del primero. Los términos dos por dos son considerados cuando se reducen a divisores similares, y así sucesivamente repetidamente. Si hay muchos colores, el pulverizador se va a utilizar.

Al igual que el álgebra de Diofanto de Alejandría, el álgebra de Brahmagupta fue sincopado. La suma se indicó colocando los números lado a lado, la resta colocando un punto sobre el subarrendamiento y la división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación pero sin la barra. La multiplicación, la evolución y las cantidades desconocidas se representaron mediante abreviaturas de términos apropiados. El alcance de la influencia griega en la Historia del álgebra, si existe, no se conoce y es posible que tanto la síncopación griega como la india puedan derivarse de una fuente babilónica común.

Las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) eran conocidas por muchas culturas antes de Brahmagupta. Dicho sistema de operaciones (que además es el actual), se basa en el sistema numérico árabe hindú y apareció por primera vez en Brāhmasphuṭasiddhānta.

Brahmagupta describe la multiplicación de la siguiente manera: "El multiplicando se repite como una cuerda para el ganado, con la frecuencia que hay porciones integrantes en el multiplicador y se multiplican repetidamente por ellos y los productos se suman. Es multiplicación. O el multiplicando se repite tantas veces como haya componentes en el multiplicador". La aritmética india era conocida en la Europa medieval como "Modus Indoram", que significa método de los indios.

En Brāhmasphuṭasiddhānta, la multiplicación se llamó Gomutrika. Al comienzo del capítulo doce, titulado "Cálculo", de su obra Brāhmasphuṭasiddhānta; Brahmagupta detalla las operaciones en las fracciones. Se espera que el lector conozca las operaciones aritméticas básicas en cuanto a la obtención de la raíz cuadrada, aunque explica cómo encontrar el cubo y la raíz cúbica de un entero y luego da reglas que facilitan el cálculo de los cuadrados y las raíces cuadradas. Luego da reglas para tratar con cinco tipos de combinaciones de fracciones:

a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = a(d + b)/cd; and a/c − b/d × a/c = a(d − b)/cd.[13]

Brahmagupta continúa para dar la suma de los cuadrados y cubos del número entero n:

12.20. La suma de los cuadrados es que dicha [suma] se multiplica por dos veces el [número de] pasos [s] incrementado por uno y dividido entre tres. La suma de los cubos es el cuadrado de esa suma. Las pilas de estas con bolas idénticas también se pueden calcular.[14]

Aquí Brahmagupta encontró el resultado en términos de la "suma" de la primera n entera, e n lugar de en términos de n como suecede en la práctica moderna.[15]

Da la suma de los cuadrados de la primera n de números naturales como n(n + 1)(2n + 1)/6 y la suma de los cubos de los primeros n números naturales como (n(n + 1)/2)2
.

La obra Brāhmasphuṭasiddhānta, de Brahmagupta, es el primer libro de su especia que contiene reglas para realizar operaciones artiméticas con el número cero y números negativos.[16]

El "Brāhmasphuṭasiddhānta" es el primer texto conocido que trata al número cero con las propiedades que conocemos hoy en día, en lugar de un simple marcador de posición que representa otro número (como lo hicieron los babilonios), o como un símbolo que representa una cantidad nula (como lo hicieron Ptolomeo y los romanos). En el capítulo dieciocho de su "Brāhmasphuṭasiddhānta", Brahmagupta describe operaciones con números negativos:

18.30. La suma de dos números positivos es positiva, la suma de dos números negativos es negativa, la suma de un número positivo y otro número negativo es la resta/diferencia de dichos números. La suma de cero con cero es cero, la suma de un número negativo con el número cero es un número negativo, la suma de un número positivo con el número cero es positivo.[17]

18.32. Un negativo menos cero es negativo, un positivo menos cero es positivo; cero menos cero es igual a cero. Cuando un positivo se debe restar de un negativo o un negativo se debe restar de un positivo, entonces dichos números se deben de sumar.[17]

Brahmagupta continua lo anterior describiendo ahora la multiplicación de dos números:

18.33. El producto de un número negativo y un número positivo es negativo, el producto de dos números negativos en positivo, el producto de números números positivos es positivo. Asimismo, el producto de un número negativo con cero es cero, el producto de un número positivo con cero es cero, el producto de dos números cero es cero.[17]

Pero su descripción de la división por cero difiere de nuestra comprensión moderna:

18.34 Un positivo dividido por un positivo o un negativo dividido por un negativo es positivo; un cero dividido por un cero es cero; un positivo dividido por un negativo es negativo; un negativo dividido por un positivo es [también] negativo.

18.35 Un negativo o un positivo dividido por cero tiene ese [cero] como divisor, o el cero dividido por un negativo o un positivo [tiene ese negativo o positivo como su divisor]. El cuadrado de un negativo o de un positivo es positivo; [el cuadrado] de cero es cero. Aquello de lo que [el cuadrado] es el cuadrado es [su] raíz cuadrada.

Aquí Brahmagupta afirma que 0/0 = 0 y en cuanto a la cuestión de a/0 en donde a ≠ 0 no quedó muy claro.[18] Sus reglas aritméticas en cuanto a números negativos y el número cero están bastante cerca de la comprensión moderna, excepto que en las matemáticas actuales la división por cero se deja indefinida.

Diagrama del teorema de Brahmagupta.

En su obra se encuentra una regla para la formación de ternas pitagóricas:

${\displaystyle m,{\frac {m^{2}}{2(m-n)}},{\frac {m^{2}}{2(m+n)}}}$

aunque esta es una modificación de la antigua regla babilónica, que perfectamente él pudo conocer. La fórmula de Brahmagupta del área para cuadriláteros, la utilizaba junto con las fórmulas:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{(ad+bc)}}}}$ y ${\displaystyle {\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}}}$

para las diagonales, para hallar cuadriláteros cuyos lados, diagonales y áreas fueran todas ellas números naturales.

Evidentemente Brahmagupta amaba la matemática por sí misma, ya que se planteaba cosas que escapaban a la práctica como sus resultados sobre cuadriláteros. Aparentemente fue el primero en dar una solución general para la ecuación diofántica lineal:

${\displaystyle ax+by=c}$ con ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$.

Para que esta ecuación tenga soluciones, el máximo común divisor de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ debe dividir a ${\displaystyle c}$, y Brahmagupta sabía que si ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son primos entre sí, entonces todas las soluciones de la ecuación vienen dadas por las fórmulas:

${\displaystyle x=p+mb}$, ${\displaystyle y=q-ma}$

donde ${\displaystyle m}$ es un entero arbitrario.[19][20]

En el capítulo doce de su Brāhmasphuṭasiddhānta , Brahmagupta proporciona una fórmula útil para generar ternas pitagóricas:

12.39. La altura de una montaña multiplicada por un multiplicador dado es la distancia a una ciudad; No se borra. Cuando se divide por el multiplicador aumentado por dos, es el salto de uno de los dos que hacen el mismo viaje.[21]

En otras palabras, si d = mx/x + 2 entonces un viajero que "salta" verticalmente hacia arriba una distancia d desde la cima de una montaña de altura m, y luego viaja en línea recta a una ciudad a una distancia horizontal mx desde la base del montaña, recorre la misma distancia que alguien que desciende verticalmente por la montaña y luego viaja a lo largo de la horizontal a la ciudad.[21] Dicho geométricamente, esto dice que si un triángulo rectángulo tiene una base de longitud a = mx y altitud de longitud b = m + d, entonces la longitud, c, de su hipotenusa viene dada por c = m(1 + x) − d. Y, de hecho, la manipulación algebraica elemental muestra que a² + b² = c² siempre que d tenga el valor indicado. Además, si m y x son racionales, también lo son d, a, b y c. Por lo tanto, se puede obtener un triple pitagórico de a, b y c multiplicando cada uno de ellos por el mínimo común múltiplo de sus denominadores.