Número pseudoaleatorio

Dada una semilla ${\displaystyle x_{0}}$, un multiplicador ${\displaystyle a}$, una constante ${\displaystyle c}$ llamada incremento y un módulo ${\displaystyle m}$, se define

${\displaystyle x_{i}=(ax_{i-1}+c)\operatorname {mod} m}$

entonces ${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq m-1}$ y para obtener una muestra ${\displaystyle u_{i}}$ en ${\displaystyle [0,1]}$ para ${\displaystyle i=1,2,3,\dots }$ se define

${\displaystyle u_{i}=x_{i}/m}$

El Generador Congruencial Lineal Simple es un caso particular del Generador Congruencial Lineal (LCG) dado por

${\displaystyle x_{i}=g(x_{i-1},x_{i-2},\dots )\operatorname {mod} m}$

donde ${\displaystyle g}$ una función determinista de los ${\displaystyle x_{j}'s}$ con ${\displaystyle 0\leq x_{j}'s\leq m-1}$ y las muestras generadas a ${\displaystyle {\ce {U(0,1)}}}$ están dados por ${\displaystyle u_{i}=x_{i}/m}$.

Algunos generadores son los siguientes:

• No lineal, por ejemplo, el generador congruencial cuadrático dado por ${\displaystyle x_{i}=(a_{1}x_{i-1}+a_{2}x_{i-1}^{2}+c)\operatorname {mod} m}$
• Generador Recursivo Múltiple: ${\displaystyle x_{i}=(a_{1}x_{i-1}+a_{2}x_{i-2}+\cdots +a_{q}x_{i-q})\operatorname {mod} m}$ donde ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{q}\in \mathbb {R} }$.
• Matricial: ${\displaystyle x_{i}=(A_{1}x_{i-1}+A_{2}x_{i-2}+\cdots +A_{k}x_{i-k})\operatorname {mod} m}$ (por ejemplo el generador por defecto de R).
• Generadores de registros desfasados: generadores de bits basados en el lineal múltiple ${\displaystyle m=2}$; ${\displaystyle a_{i}}$, ${\displaystyle x_{i}\in (0,1)}$ (cálculos mediante operaciones lógicas).
• Combinación de generadores:
  • Combinación de salidas: ui=∑u(l)i mod1
  • Barajar salidas…

Se divide el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$ en ${\displaystyle k}$ subintervalos de misma longitud y se generan ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$. Para ${\displaystyle j=1,2,\dots ,k}$ sea ${\displaystyle f_{j}}$ el número de ${\displaystyle u_{i}'s}$ que están en el ${\displaystyle j}$-ésimo subintervalo y sea

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {k}{n}}\sum _{j=1}^{k}\left(f_{j}-{\frac {n}{k}}\right)^{2}}$

si ${\displaystyle n}$ es un número muy grande (al menos debe ser mayor o igual a ${\displaystyle 100}$) entonces ${\displaystyle \chi ^{2}}$ tendrá aproximadamente una distribución ${\displaystyle \chi _{k-1}^{2}}$ bajo la hipótesis nula ${\displaystyle H_{0}:{\text{las muestras generadas son IID }}U(0,1)}$. A un nivel ${\displaystyle (1-\alpha )100\%}$ de confianza rechazamos ${\displaystyle H_{0}}$ si ${\displaystyle \chi ^{2}>\chi _{k-1,1-\alpha }^{2}}$, para valores de ${\displaystyle k}$ suficientemente grandes, se puede utilizar la aproximación

${\displaystyle \chi _{k-1,1-\alpha }^{2}\approx (k-1)\left[1-{\frac {2}{9(k-1)}}+z_{1-\alpha }{\sqrt {\frac {2}{9(k-1)}}}\right]}$

Los métodos más avanzados tratan normalmente de contrastar si las ${\displaystyle k}$-uplas:

${\displaystyle (u_{t+1},u_{t+2},\dots ,u_{t+k-1})}$, ${\displaystyle t=(i-1)k}$ con ${\displaystyle i=1,2,\dots ,m}$

son ${\displaystyle \operatorname {IID} \;U(0,1)}$ (uniformes independientes en el hipercubo; análisis multivariante).

Nos centraremos en los métodos genéricos. Pueden usarse en:

• Evaluación de generadores aleatorios
• Evaluación de generadores de variables aleatorias
• Modelado de entradas de modelos de simulación

Uno de los contrastes más conocidos es el test ji-cuadrado de bondad de ajuste . Aunque si la variable de interés es continua, habría que discretizarla (con la correspondiente perdida de información).

Importante: Empleando los métodos genéricos del modo habitual, desconfiamos del generador si la muestra/secuencia no se ajusta a la distribución teórica (${\displaystyle p}$-valor ${\displaystyle \leq \alpha }$). En este caso además, también se sospecha si se ajusta demasiado bien a la distribución teórica (${\displaystyle p}$-valor ${\displaystyle \geq 1-\alpha }$).