Centro (álgebra)

El término centro se utiliza en varios contextos en álgebra abstracta para denotar al conjunto de todos los elementos que conmutan con todos los demás. Más concretamente:

• El centro de un grupo G, denotado por ${\displaystyle Z(G)}$ consiste en todos los elementos ${\displaystyle x\in G}$ tales que ${\displaystyle xg=gx}$ ${\displaystyle g\in G,\,\forall g}$.[1] El centro de un grupo ${\displaystyle G}$ es un subgrupo normal de ${\displaystyle G}$;
• El centro de un anillo ${\displaystyle R}$ es el subconjunto de R formado por todos los elementos ${\displaystyle x\in R}$ tales que ${\displaystyle xr=rx}$ para todo ${\displaystyle r\in R}$. El centro de un anillo ${\displaystyle R}$ es un subanillo conmutativo de ${\displaystyle R}$, por lo que ${\displaystyle R}$ es un álgebra sobre su centro;
• El centro de un álgebra asociativa ${\displaystyle A}$ es el conjunto formado por los elementos ${\displaystyle x\in A}$ tales que ${\displaystyle xa=ax}$ para todo ${\displaystyle a\in A}$.[2] Véase también: álgebras centrales simples;
• El centro de un álgebra de Lie L es el conjunto de los elementos ${\displaystyle x\in L}$ tales que ${\displaystyle [x,a]=0}$ para todo ${\displaystyle a\in L}$. Este conjunto es un ideal de Lie de ${\displaystyle L}$.