Cisoide

Sean C₁ y C₂ dos líneas no paralelas y sea O el origen. Las ecuaciones polares de C₁ y C₂ son

${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$

y

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}}$.

Por rotación a través del ángulo ${\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha 2)/2}$, se puede asumir que ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha }$. Entonces la cisoide de C₁ y C₂ relativa al origen viene dada por

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}}$.

La combinación de constantes da

${\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

que en coordenadas cartesianas es

${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy}$.

Esta curva es una hipérbola que pasa por el origen. Entonces, la cisoide de dos líneas no paralelas es una hipérbola que contiene el polo. Una demostración similar permite comprobar que, a la inversa, cualquier hipérbola es la cisoide de dos líneas rectas no paralelas con respecto a cualquiera de sus puntos.

Una cisoide de Zahradnik (llamadas así por el matemático checo Karel Zahradnik) se define como la cisoide de una sección cónica y una recta con respecto a cualquier punto de la cónica. Se trata de una amplia familia de curvas cúbicas racionales que contiene varios ejemplos bien conocidos, en particular:

• La trisectriz de Maclaurin dada por

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$

es la cisoide de la circunferencia ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ y la línea recta ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ con respecto al origen.

• La estrofoide

${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$

es la cisoide de la circunferencia ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ y la línea recta ${\displaystyle x=-a}$ con respecto al origen.

• La cisoide de Diocles

${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$

es la cisoide de la circunferencia ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ y la línea recta ${\displaystyle x=-2a}$ con respecto al origen. Esta es, de hecho, la curva por la que se nombra a la familia, y algunos autores la denominan simplemente como cisoide.

• La cisoide de la circunferencia ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ y de la línea recta ${\displaystyle x=ka}$, donde k es un parámetro, se llama concoide de De Sluze, aunque estas curvas no son en realidad concoides. Esta familia incluye los ejemplos anteriores.

• El folium de Descartes

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$

es la cisoide de la elipse ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$ y de la línea recta ${\displaystyle x+y=-a}$ con respecto al origen. Para ver esto, téngase en cuenta que la ecuación de recta se puede escribir como

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px}$

y la de la elipse se puede escribir en la forma

${\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px}$.

Entonces, la cisoide viene dada por

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}$

que es una forma paramétrica del folium.