Concoide de De Sluze

La(s) concoide(s) de de Sluze son una familia de curvas planas estudiadas en 1662 por el matemático belga René François Walter, barón de Sluze.

La concoide de de Sluze para algunos valores de a

Están definidas por la ecuación polar[1]

${\displaystyle r=\sec \theta +a\cos \theta \,}$

En coordenadas cartesianas, las curvas satisfacen la ecuación implícita

${\displaystyle (x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}\,}$

excepto para a=0, la forma implícita presenta un acnodo en (0,0), que no aparece en la forma polar.

Son curvas planas racionales, circulares y cúbicas.

Estas expresiones tienen una asíntota x=1 (para a≠0). El punto más distante de la asíntota es (1+a,0). (0,0) que es un crunodo para a<−1.

El área entre la curva y la asíntota es, para ${\displaystyle a\geq -1}$

${\displaystyle |a|(1+a/4)\pi \,}$

mientras que para ${\displaystyle a<-1}$, el área es

${\displaystyle \left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}.}$

Si ${\displaystyle a<-1}$, la curva tiene un bucle. El área del bucle es

${\displaystyle \left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}.}$

Cuatro de los miembros de la familia tienen nombres particulares:

• a =0, recta (asíntota al resto de la familia)
• a =−1, cisoide de Diocles
• a =−2, estrofoide derecha.
• a =−4, trisectriz de Maclaurin