Teorema multinomial

En matemática, el teorema multinomial describe como se expande una potencia de una suma en términos de potencias de los términos de esa suma. Es la generalización del teorema del binomio a polinomios.

Teorema

Para cualquier entero positivo m y cualquier entero no negativo n, la fórmula multinomial indica cómo una suma con m términos se expande cuando se eleva a una potencia arbitraria n:

(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}x_{t}^{k_{t}}\,,

donde

{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}

es un coeficiente multinomial. La suma se toma sobre todas las combinaciones de índices enteros no-negativos k_i a k_m de tal manera que la suma de todos los k_i es igual a n. Es decir, para cada término de la expansión, los exponentes de x_i deben sumar n. Además, al igual que con el teorema del binomio, las cantidades de la forma x₀ que aparecen, se toman como iguales a 1 (incluso cuando x es igual a 0).

En el caso m=2, esta afirmación se reduce a la del Teorema del binomio.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Multinomial Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Multinomial coefficient», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.

Datos: Q619985

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