Número entero

La palabra entero procede del latín integer que significa "entero" o (literalmente) "intacto", de in ("no") más tangere ("tocar"). "Entire" deriva del mismo origen a través de la palabra French entier, que significa tanto entero como entero. [3] Históricamente el término se utilizaba para un número que era múltiplo de 1,[4][5] o a la parte entera de un número mixto. [6][7] Sólo se consideraban enteros positivos, lo que convertía el término en sinónimo de número naturals. La definición de número entero se amplió con el tiempo para incluir número negativos a medida que se reconoció su utilidad.[8] Por ejemplo Leonhard Euler en su 1765 Elementos de Álgebra definió los números enteros para incluir tanto los números positivos como los negativos. [9] Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayor parte, se resistieron al concepto de números negativos hasta mediados del siglo XIX.[8]

El uso de la letra Z para denotar el conjunto de los números enteros proviene de la palabra alemán Zahlen ("números")[10][11] y se ha atribuido a David Hilbert.[12] El uso más antiguo conocido de la notación en un libro de texto se produce en Algébre escrito por el colectivo Nicolas Bourbaki, que data de 1947. [10][13] La notación no se adoptó inmediatamente, por ejemplo otro libro de texto utilizaba la letra J[14] y en un artículo de 1960 se utilizó Z para designar los enteros no negativos.[15] Pero en 1961, Z se utilizaba generalmente en los textos modernos de álgebra para designar los enteros positivos y negativos.[16]

El símbolo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ es a menudo anotado para denotar varios conjuntos, con uso variable entre diferentes autores: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$,${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$ o ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}$ para los enteros positivos, ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$ o ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}$ para los enteros no negativos, y ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}$ para los enteros distintos de cero. Algunos autores usan ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$ para enteros no nulos, mientras que otros lo usan para enteros no negativos, o para -1, 1 (el grupo de unidades de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$). Además, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ se utiliza para denotar ya sea el conjunto de integros de módulo p (es decir, el conjunto de clases de congruencia de enteros), o el conjunto de p-ádicos.[17][18]

Los números enteros fueron sinónimos de los enteros hasta principios de la década de 1950.[19][20][21] A finales de la década de 1950, como parte del movimiento Matemática moderna,[22] Los profesores de primaria estadounidenses empezaron a enseñar que los "números enteros" se referían a los números naturaless, excluyendo los números negativos, mientras que los "enteros" incluían los números negativos. [23][24]"Número entero" sigue siendo ambiguo en la actualidad.[25]

Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:

3 − 5 = ?

Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar de ganancias y pérdidas:

Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.

La recta numérica

Los números enteros negativos son menores que todos los positivos y que el cero. Es decir, todo número que se encuentra ubicado a la derecha es mayor que el número que se encuentra ubicado a la izquierda. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:

El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay del origen (cero) hasta un punto dado. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «||».

Ejemplos. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.

El orden de los números enteros puede resumirse en:

El orden de los números enteros se define como: Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a. Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es: El de menor valor absoluto, si el signo común es «+». El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−». El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Ejemplos. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.

Adición:

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color.

En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo: Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos. Si ambos sumandos tienen distinto signo: El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto. El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

Ejemplos. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales. Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales. Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

Ejemplo.

1. Propiedad asociativa:

   [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)

   (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

2. Propiedad conmutativa:

   (+9) + (−17) = −8

   (−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:

Elemento opuesto o simétrico: Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0[26].

• El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición y multiplicación, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo; y posee una relación de orden. Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.

• Parte entera
• Entero (tipo de dato)

Clasificación de los números Complejos ${\displaystyle$ :\;\mathbb {C} } Reales ${\displaystyle$ :\;\mathbb {R} } Racionales ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Q} } Enteros ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Z} } Naturales ${\displaystyle$ :\;\mathbb {N} } Cero: 0 Enteros negativos Fraccionarios Irracionales Imaginarios

• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre número entero.