Distributividad

En los siguientes ejemplos, se muestra el uso de la propiedad distributiva en el conjunto de números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Cuando se menciona la multiplicación en matemáticas elementales, generalmente se refiere a este tipo de multiplicación. Desde el punto de vista del álgebra, los números reales forman un campo, lo cual segura la validez de la ley distributiva.

Primer ejemplo (multiplicación mental y escrita)

Durante aritmética sin lápiz, a menudo la distributividad se utiliza de manera inconsciente:

$${\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96}$$

Por lo tanto, para calcular ${\displaystyle 6\cdot 16}$ sin ayuda de lápiz, primero se multiplica ${\displaystyle 6\cdot 10}$ y ${\displaystyle 6\cdot 6}$ y se suma los resultados intermedios. La multipicación realizada escribiendo también se basa en la ley distributiva.

Segundo ejemplo (con variables)

$${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}$$

Tercer ejemplo (con dos sumas)

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}}$$

En este caso la propiedad distributiva fue aplicada dos veces, y no importa cuál paréntesis se resuelve primero.

Cuarto ejemplo

En este caso la propiedad distributiva es usada al revés comparada con los casos en los ejemplos anteriores. Sea

$${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.}$$

Dado que el factor ${\displaystyle 6a^{2}b}$ se encuentra en todos los sumandos, se lo puede extraer como factor común. Por lo que de acuerdo a la propiedad distributiva se obtiene

$${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).}$$

La ley distributiva es válida para la multiplicación de matrices. O sea,

$${\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}$$

para todas matrices ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle l\times m}$ y matriz ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle m\times n}$ como también

$${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}$$

para todas matriz ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle l\times m}$ y matrices ${\displaystyle B,C.}$ ${\displaystyle m\times n}$

Como la propiedad conmutativa no es válida para la multiplicación de matrices, la segunda ley no se deriva de la primera ley. En este caso, son dos leyes diferentes.

• En cambio la multiplicación de números ordinales, solo es distributiva por izquierda, no por derecha.
• El producto cruz es distributivo por derecha y por izquierda con respecto a la suma de vectores, aunque no es conmutativo.
• La unión de conjuntos es distributiva con respecto a la intersección, y la intersección es distributiva con respecto a la unión.
• La disyunción lógica ("o") es distributiva sobre la conjunción lógica ("Y"), y viceversa.
• Para los números reales (y para todo conjunto totalmente ordenado), la operación máximo es distributiva sobre la operación mínimo, y viceversa:
  $${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ y }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).}$$

  
• Para enteros, el máximo común divisor es distributivo con respecto al mínimo común múltiplo, y viceversa:
  $${\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ y }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).}$$

  
• Para los números reales, la suma se distribuye sobre la operación de máximo, y también con respecto a la operación de mínimo:
  $${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ y }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}$$

  
• En la multiplicación binomial, la distribución a veces se denomina como el método PEIU[2] (Primeros términos ${\displaystyle ac,}$ Exteriores ${\displaystyle ad,}$ Interiores ${\displaystyle bc,}$ y Ultimos ${\displaystyle bd}$) such as: ${\displaystyle (a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.}$
• En todos los semianillos, incluidos los números complejos, las multiplicaciones de cuaterniones, polinomios, y matrices, es distributiva con respecto a la suma: ${\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.}$
• En todas las álgebras en un campo, incluidos los octoniones y otras álgebras no asociativas, la multiplicación es distributiva respecto de la suma.

En la lógica proposicional funcional de verdad estándar, la distribución[3][4] en las demostraciones lógicas utiliza dos reglas de reemplazo válidas para expandir las ocurrencias individuales de ciertas conectivas lógicas, dentro de alguna fórmula, en aplicaciones separadas de esas conectivas a través de subfórmulas de la fórmula dada. Las reglas son

$${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ and }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$$

donde "${\displaystyle \Leftrightarrow }$>", también escrito ${\displaystyle \,\equiv ,\,}$ es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba con" o "es lógicamente equivalente a".

La distributividad de algunos conectivos lógicos de lógica proposicional funcional de verdad. Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la distributividad es una propiedad de las conectivas particulares. Las siguientes son tautologías funcionales de verdad.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribución de }}&&{\text{ conjunción }}&&{\text{ sobre }}&&{\text{ disyunción }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribución de }}&&{\text{ disyunción }}&&{\text{ sobre }}&&{\text{ conjunción }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribución de }}&&{\text{ conjunción }}&&{\text{ sobre }}&&{\text{ conjunción }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribución de }}&&{\text{ disyunción }}&&{\text{ sobre }}&&{\text{ disyunción }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribución de }}&&{\text{ implicación }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribución de }}&&{\text{ implicación }}&&{\text{ sobre }}&&{\text{ equivalencia }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribución de }}&&{\text{ implicación }}&&{\text{ sobre }}&&{\text{ conjunción }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribución de}}&&{\text{ disyunción }}&&{\text{ sobre }}&&{\text{ equivalencia }}\\\end{alignedat}}}$$

Distribución doble

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}}$$

La ubicua identidad que relaciona los inversos con la operación binaria en cualquier grupo, a saber ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},}$ que se toma como axioma en el contexto más general de un semigrupo con involución, se ha llamado a veces una propiedad antidistributiva (de la inversión como operación unaria).[5]

En el contexto de un casi-anillo, que elimina la conmutatividad del grupo escrito aditivamente y asume sólo la distributividad de un lado, se puede hablar de elementos distributivos (de dos lados) pero también de elementos antidistributivos. Estos últimos invierten el orden de la adición (no conmutativa); suponiendo un anillo de izquierda (es decir, que todos los elementos se distribuyen cuando se multiplican por la izquierda), entonces un elemento antidistributivo ${\displaystyle a}$ invierte el orden de la adición cuando se multiplica por la derecha: ${\displaystyle (x+y)a=ya+xa.}$[6]

En el estudio de la lógica proposicional y el álgebra de Boole, el término ley antidistributiva se utiliza a veces para denotar el intercambio entre la conjunción y la disyunción cuando la implicación es un factor sobre ellas:[7]

$${\displaystyle (a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)}$$

$${\displaystyle (a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).}$$

Estas dos tautologías son una consecuencia directa de la dualidad en las leyes de De Morgan.