Transformación natural

Si F y G son funtores (covariantes) entre las categorías C y D, entonces una transformación natural η de F a G asocia a cada objeto X en C un morfismo η_X : F(X) → G(X) en D, tal que para cada morfismo f : X → Y en C tenemos

η_Y o F(f) = G(f) o η_X.

Esta ecuación se puede expresar convenientemente por el diagrama conmutativo

Si η es una transformación natural de F a G, se escribe también η: F → G.

Si, para cada objeto X en C, el morfismo η_X es un isomorfismo en D, entonces η se dice un isomorfismo natural (o a veces una equivalencia natural o isomorfismo de funtores). Dos funtores F y G se dicen naturalmente isomorfos o simplemente isomorfos si existe un isomorfismo natural de F a G.

Declaraciones como "Todo grupo es naturalmente isomorfo a su grupo opuesto" abundan en matemáticas modernas. Ahora daremos el significado exacto de esta declaración así como su prueba. Considere la categoría Grp de todos los grupos con homomorfismos de grupo como morfismos. Si (G,*) es un grupo, se define a su grupo opuesto (G^op, *^op) como sigue: G^op es el mismo conjunto que G, y la operación *^op es definida por a*^opb = b*a. Todas las multiplicaciones en G^op "se dan vuelta así". La formación del grupo opuesto se convierte en un funtor de Grp a Grp si definimos f^op = f para cada homomorfismo de grupo f: G → H. Observe que f^op es de hecho un homomorfismo de grupo de G^op en H^op:

f^op(a*^opb) = f(b*a) = f(b)*f(a) = f^op(a)*^opf^op(b).

el contenido de la declaración antedicha es: el funtor identidad Id_Grp: Grp → Grp es naturalmente isomorfo al funtor opuesto -^op: Grp → Grp. Para probar esto, necesitamos proporcionar isomorfismos η_G: G → G^op para cada grupo G, tal que el diagrama antedicho conmuta. Haga η_G(a) = a^-1. Las fórmulas (ab)^-1 = b^-1 a^-1 y (a^-1)^-1 = a demuestran que η_G es un homomorfismo de grupo que es su propio inverso. Para probar la naturalidad, comenzamos con un homomorfismo de grupo f: G → H η_H o f = f^op o η_G, es decir (f(a))^-1 = f^op(a^-1) para todo a en G. Esto es verdad puesto que f^op = f y cada homomorfismo de grupo tiene la propiedad (f(a))^-1 = f(a^-1).

Si K es un cuerpo, entonces para cada espacio vectorial sobre K V tenemos una función lineal inyectiva "natural" V -> V^** del espacio vectorial en su doble dual. Estas funciones son "naturales" en el sentido siguiente: la operación dual doble es un funtor, y los funciones forman una transformación natural del funtor identidad al funtor doble dual. Considere la categoría Ab de grupos abelianos y de homomorfismos de grupo. Para todos los grupos abelianos X, Y y Z tenemos un isomorfismo de grupos

Hom(X, Hom(Y, Z)) -> Hom(${\displaystyle X\otimes Y}$, Z).

estos isomorfismos son "naturales" en el sentido que definen una transformación natural entre los dos funtores implicados Ab^op x Ab^op x Ab -> Ab.

Si η F → G y ε: G → H son transformaciones naturales entre funtores C → D, entonces podemos componerlos para conseguir una transformación natural εη: F → H. Este es hecho componente a componente: (εη)_X = ε_Xη_X. Esta composición de la transformación natural es asociativa, y permite considerar la colección de todos los funtores C → D como categoría en sí misma (véase abajo Categorías de funtores).

Una transformación natural η: F → G es un isomorfismo natural si y solamente si existe una transformación natural ε: G → F tales que ηε = 1_G y εη = 1_F (donde 1_F: F → F es la transformación natural que asigna a cada objeto X el morfismo identidad en F(X)).

Si η : F → G es una transformación natural entre los funtores F,G : C → D, y H: D → E es otro funtor, entonces se puede formar la transformación natural Hη : HF → HG definiendo (Hη)_X = H(η_X). Si por otra parte K: B → C es un funtor, la transformación natural ηK: FK → GK se define por (ηK)_X = η_K(X).

Si C es cualquier categoría e I es una categoría pequeña, podemos formar la categoría de funtores C^I teniendo como objetos todos los funtores de I a C y como morfismos las transformaciones naturales entre esos funtores. Esto es especialmente útil si I se presenta como un grafo dirigido. Por ejemplo, si I es la categoría del grafo dirigido * -> *, entonces C^I tiene como objetos los morfismos de C, y un morfismo entre φ y ψ de U -> V y ψ X -> Y en C^I es un par de los morfismos f: U -> X y g: V -> Y en C tales que el "cuadrado conmuta", es decir ψ f = g φ.

Si X es un objeto de la categoría C, entonces la asignación Y |-> Mor_C(X, Y) define un funtor covariante F_X: C -> Set. Este funtor se llama representable. Las transformaciones naturales de un funtor representable a un funtor arbitrario F: C -> Set son totalmente conocidas y fáciles de describir; este es el contenido del lema de Yoneda.

Saunders MacLane, uno de los fundadores de la teoría de categorías, se dice que comentó, "yo no inventé las categorías para estudiar funtores; las inventé para estudiar las transformaciones naturales." Así como el estudio de los grupos no está completo sin un estudio de los homomorfismos, así el estudio de las categorías no está completo sin el estudio de los funtores. La razón del comentario de Mac Lane es que el estudio de los funtores es en sí mismo incompleto sin el estudio de las transformaciones naturales. El contexto de la observación de Mac Lane era la teoría axiomática de la homología. Diversas maneras de construir la homología se podían demostrar que coincidían: por ejemplo en el caso de un complejo simplicial los grupos definidos directamente, y los de la teoría singular, serían isomorfos. Pero eso, en sí mismo, indicaba mucho menos que la existencia de una transformación natural de los funtores correspondientes de la homología.