Modus ponendo ponens

La regla del modus ponendo ponens puede escribirse en subsiguiente notación:

${\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q}$

donde ⊢ es un símbolo metalógico que significa que Q es una consecuencia sintáctica de P → Q y P en algún sistema lógico;

o como la afirmación de una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional:

${\displaystyle ((P\to Q)\land P)\to Q}$

donde P, y Q son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

La forma de argumento tiene dos premisas (hipótesis). La primera premisa es la "si-entonces" o reclamación de condicional, a saber: que P implica Q. La segunda premisa es que P, el antecedente de la alegación condicional, es cierto. Aceptar las premisas implica necesariamente que Q, el consecuente o apódosis de la reclamación de condicional, también debe ser verdad. En inteligencia artificial, el modus ponens usualmente se lo denomina encadenamiento hacia adelante.

Un ejemplo de un argumento que se ajuste a la forma modus ponens:

Si hoy es martes, entonces Juan se irá a trabajar.

Hoy es martes.

Por lo tanto, Juan irá a trabajar.

Este argumento es válido, pero esto no nos dice nada sobre si las premisas requeridas por el argumento son verdaderas. Para que modus ponens sea un argumento sólido además de válido las premisas deberán ser verdaderas. Un argumento válido pero sin solidez podría ser o no falso. El argumento de ejemplo solo es sólido los martes y cuando en efecto, se sabe que Juan realmente va a trabajar los martes.

En cálculo secuencial de conclusión única, el modus ponens es la regla de corte. El teorema de eliminación del corte para un cálculo dice que cada prueba que implica Corte puede ser transformada (por lo general, por un método constructivo) en una prueba sin corte, y de ahí que el corte sea admisible.

La correspondencia de Curry-Howard entre pruebas y programas relaciona el modus ponens a la función aplicación: si f es una función del tipo P → Q y x es de tipo P, entonces f x es de tipo Q.

Cualquier regla Modus ponens puede probarse mediante una regla Modus Tollens y de transposición. La prueba es el siguiente.

1. P → Q

2. P /∴ Q

3.~Q → ~P 1 Transposición

4.~~ P 2 Doble negación

5.~~ Q 3,4 Modus Tollens

6. Q 5 Doble negación

La validez del modus ponens en la lógica clásica de dos valores se puede demostrar claramente demostrada utilizando una tabla de verdad.

En los casos de modus ponens se asume como premisa que p → q es verdadera y p es verdadera. Solo una línea de la tabla de verdad —la primera— satisface estas dos condiciones (p y p → q). En esta línea, q también es verdad. Por lo tanto, cada vez que p → q sea verdadero y p es verdadero, q debe también ser verdadero.

Vía tollendo ponens

Paso	Proposición	Derivación
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Premisa
2	${\displaystyle P}$	Premisa
3	${\displaystyle \neg P\lor Q}$	Implicación material (1)
4	${\displaystyle Q}$	Modus tollendo ponens (2,3)

• Modus tollendo tollens
• Modus tollendo ponens
• Modus ponendo tollens
• Problema de la justificación de la deducción
• Razonamiento deductivo

• Alfred Tarski 1946 Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences 2.ª edición, reprinted by Dover Publications, Mineola NY. ISBN 0-486-28462-X (pbk) (en inglés).
• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica to *56 (Segunda edición) edición de bolsillo 1962, Cambridge at the University Press, Londres, Reino Unido. No ISBN, no LCCCN (en inglés).
• Herbert B. Enderton, 2001, A Mathematical Introduction to Logic Second Edition, Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3 (en inglés).

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Modus ponens», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104. (en inglés)
• Modus ponendo ponens en PhilPapers (en inglés)
• Modus ponens en Wolfram MathWorld (en inglés)
• Esta obra contiene una traducción total derivada de «Modus ponens» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.