Número negativo

Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Si les añadimos un signo menos «−» delante, obtenemos los números enteros negativos:

De este modo, a todos los números positivos como los números racionales positivos o los números reales positivos tienen su contrapartida negativa, anteponiendo el signo «−». Para distinguirlos mejor, en ocasiones se añade a los números positivos un signo más «+», enfatizando la diferencia con los negativos:

${\displaystyle +5,+2/3,+\pi ,...}$

En ausencia de signo, se entiende que un número es positivo. El cero puede escribirse con signo más o menos indistintamente, porque sumar o restar cero es igual a no hacer nada, y por lo general se deja sin signo.

Los números negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender cómo están ordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto mayor es el número tras el signo «−». A este número se le llama el valor absoluto:

Ejemplo. ${\displaystyle |+5|=5,|-2.7|=2.7,|+0|=|-0|=0}$

Ahora puede entenderse como están ordenados los números negativos:

Ejemplo.

1. Comparemos +4 y −5: tienen signo distinto, por lo que el que tiene el signo «−» es el menor. Por tanto: −5 < +4.
   
2. Comparemos +3 y +1: tienen el mismo signo, y este es «+», por lo que el que tiene el menor valor absoluto es el menor: +1 < +3.
   
3. Comparemos −2 y −5: tienen el mismo signo, y este es «−», así que el que tiene el mayor valor absoluto es el menor: −5 < −2.
4. Comparemos 0 y +3. Sabemos que el resultado es 0<+3, porque 0 es menor que todos los números positivos, pero podemos aplicar las reglas anteriores poniéndole signo al cero y el resultado será idéntico:

• Si escribimos el 0 como +0, ambos tienen el mismo signo, y el que tiene menor valor absoluto es el menor: +0 < +3.
• Si escribimos el 0 como −0, tienen signo distinto, y el que tiene el signo «−» es el menor: −0 < +3.

Suma de números con signo

La suma de dos números con signo puede realizarse desplazándose a lo largo de la recta numérica:

-Los sumandos se representan por flechas que van desde el cero hasta el número correspondiente. Las que corresponden a números positivos apuntan hacia la derecha, y hacia la izquierda para los negativos.

-Uniendo el extremo final de una con el extremo inicial de otra, se obtiene la suma de los dos sumandos.

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color. Se ve que:

-El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.

-El valor absoluto del resultado crece si ambos sumandos son del mismo signo (se suman sus valores absolutos) y decrece si son distintos (al mayor se le resta el menor).

La suma de dos números negativos es muy similar a la de los números positivos. Por ejemplo, si una persona tiene dos deudas con dos bancos distintos, por valores de 1000 y 2000 pesos respectivamente, entonces debe pagar en total 3000 pesos. Por esta razón se dice

${\displaystyle (-1000)+(-2000)=-3000}$

Para sumar dos números de distinto signo, se puede pensar en la combinación de una deuda y una ganancia. Una persona con una deuda de 200 euros que recibe una paga puede saldar parte o toda la deuda. Si la paga es de 50 euros, podrá reducir su deuda a 150 euros; mientras que si la paga es de 500, puede saldar por completo la deuda y aún le sobran 300 euros. Esto se representa como:

${\displaystyle (-200)+(+50)=-150}$

${\displaystyle (-200)+(+500)=300}$

Estas sumas también pueden entenderse de otras maneras, como desplazamientos a izquierda o derecha en la recta numérica. En resumen, la suma de números con signo se separa en dos pasos, para determinar las dos características del resultado, su valor absoluto y su signo:

Ejemplo.

1. (+4,5) + (−2,3). Tienen distinto signo, y +4,5 es el que tiene mayor valor absoluto. El signo del resultado es entonces «+», y su valor absoluto es la diferencia 4,5 − 2,3 = 2,2. O sea: (+4,5) + (−2,3) = +2,2.
2. (+1) + (+5). Tienen el mismo signo («+»), así que el signo del resultado es «+» y el valor absoluto es la suma de los valores absolutos 1+5 = 6. O sea: (+1) + (+5) = +6
3. (−6) + (+3/4). Tienen distinto signo, y es −6 el que tiene mayor valor absoluto, así que el signo del resultado es «−» y el valor absoluto es la diferencia 6 − 3/4 = 21/4. O sea: (−6) + (+3/4) = −21/4.
4. (−4) + (−7). Tienen el mismo signo («−»), luego el signo del resultado es también «−» y su valor absoluto es la suma de ambos 4 + 7 = 11. O sea: (−4) + (−7) = −11.
5. −(−36) + (−5). −(−36)= +36, + (−5) = −5, 36−5 = 31.

La resta de números con signo es muy sencilla, ya que ahora la tratamos como un caso particular de la suma.

Ejemplo.

1. ${\displaystyle (+10)-(-5)=(+10)+(+5)=+15}$
2. ${\displaystyle (-7,4)-(+6)=(-7,4)+(-6)=-13,4}$
3. ${\displaystyle (-4)-(-8)=(-4)+(+8)=+4}$
4. ${\displaystyle (+2/3)-(+9/7)=(+2/3)+(-9/7)=14/21-27/21=-13/21}$
5. ${\displaystyle (36.36)+(-101/20)=36.36-5.05=31.31}$

Regla de los signos. Dos cargas eléctricas se repelen si son del mismo signo y se atraen si son de signos distintos. La fuerza que ejerce la carga grande sobre la pequeña es entonces es positiva (empuja) o negativa (tira). La fuerza depende pues del producto de dos números con signo, las dos cargas.

La multiplicación de un número positivo por otro número, positivo o negativo es sencilla de entender, como repetición de una suma:

${\displaystyle (+3)\times (+1000)=(+1000)+(+1000)+(+1000)=+3000}$

${\displaystyle (+2)\times (-2000)=(-2000)+(-2000)=-4000}$

En otras palabras: el triple de un ingreso de 1000 pesos es un ingreso de 3000 pesos; y el doble de una deuda de 2000 pesos es una deuda de 4000 pesos. El producto de un número negativo por otro número con signo puede entenderse como resultado de las propiedades conmutativa y distributiva de la multiplicación:

${\displaystyle 4\times 5=5\times 4=20}$

${\displaystyle 5\times (7.2-1)=5\times 6.2=31\quad {\mbox{y a su vez}}\quad 5\times 7.2-5\times 1=36-5=31}$

Entonces, el producto de un número negativo por otro número con signo es:

${\displaystyle (-5)\times (+4)=(+4)\times (-5)=(-5)+(-5)+(-5)+(-5)=-20}$

${\displaystyle (-2)\times (+5)+(-2)\times (-4)=(-2)\times [(+5)+(-4)]=(-2)\times (+1)=-2}$

Puesto que ${\displaystyle (-2)\times (+5)=(+5)\times (-2)=-10}$, la única posibilidad es que ${\displaystyle (-2)\times (-4)=+8}$.

En resumen, la multiplicación de números con signo, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado:

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Ejemplo.

1. (+4,5) × (−6). El signo de los factores es distinto, así que el signo del resultado es «−». El producto de los valores absolutos es 4,5 × 6 = 27. O sea: (+4,5) × (−6) = −27.
2. (+5) × (+3). El signo de los factores es idéntico, así que el signo del resultado es «+». El producto de los valores absolutos es 5×3 = 15. O sea: (+5) × (+3) = +15.
3. (−7/5) × (+8/3). El signo de los factores es distinto, luego el signo del resultado es «−». El producto de los valores absolutos es 7/5 × 8/3 = 56/15. O sea: (−7/5) × (+8/3) = −56/15.
4. (−9) × (−2). El signo de los factores es el mismo, así que el signo del resultado es «+». El producto de los valores absolutos es 9×2 = 18. O sea: (−9) × (−2) = +18.

La división de números con signo es similar a la multiplicación, puesto que también respeta la regla de los signos:

Ejemplo.

1. ${\displaystyle (-36)\div 5=-(36\div 5)=-7,2}$
2. ${\displaystyle (+8)/(+4)=+(8/4)=+2}$
3. ${\displaystyle (-31,2)\div (-5,2)=+(31,2\div 5,2)=+6}$
4. ${\displaystyle (+14)/(-3)=-(14/3)=-14/3}$

Una potencia de un número negativo elevado a un número entero es sencilla de entender, puesto que puede descomponerse en repetidas multiplicaciones:

${\displaystyle (-3)^{4}=(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=+81}$

No siempre es posible calcular la potencia de un número negativo elevado a un exponente que no sea entero:

${\displaystyle (-32)^{\frac {1}{5}}=-2,\quad {\mbox{ya que}}\quad (-2)^{5}=-32}$

No existe (−7)^1/2 , ya que el cuadrado de un número real es siempre positivo: (+) × (+) = (−) × (−) = (+)

Si el exponente es un número negativo, como 3⁻², esta operación puede entenderse debido a las propiedades usuales de las potencias cuando son multiplicadas:

Sabiendo que: ${\displaystyle 4^{2}\times 4^{3}=(4\times 4)\times (4\times 4\times 4)=4^{2+3}=4^{5}}$,

entonces: ${\displaystyle 3^{-2}\times 3^{3}=3^{-2+3}=3^{1}=3}$,

y puesto que ${\displaystyle 3^{3}=27}$, ha de ser ${\displaystyle 3^{-2}=1/9}$, ya que ${\displaystyle 27\times 1/9=27/9=3}$.

Resumiendo, las potencias se definen como:

Nótese que los números enteros son también fracciones de denominador impar: 5 = 5/1 , −3 = −3/1. La potencia (−7)^1/2 no existe porque no existen números positivos o negativos cuyo cuadrado sea negativo. Por ello dichas potencias requieren la introducción de los llamados números imaginarios.

Ejemplo.

1. (+4)^+(1/3). El signo es «+» porque +4 es positivo, y el valor absoluto es 4^1/3, porque el exponente es positivo: (+4)^+(1/3) = + (4^1/3) = +1,587...
2. (−5)^+(2/7). La base es negativa, y el exponente es una fracción con denominador impar y numerador par, por lo que la potencia existe y el signo es «+». El valor absoluto es 5^2/7, porque el exponente es positivo: (−5)^+(2/7) = + (5^2/7) = +1,583...
3. (+6)⁻³. El signo es «+» porque +6 es positivo, y el valor absoluto es 1/(6³), porque el exponente es negativo: (+6)⁻³ = + 1/(6³) = +1/216.
4. (−9)^+(1/6). La base es negativa y el exponente es una fracción de denominador par. La potencia no existe.
5. (−2,3)^−10/2. La base es negativa y el exponente un número entero impar (es una fracción con denominador par, pero no es irreducible, sino que puede simplificarse a 5/1, que tiene denominador impar), por lo que el signo del resultado es «−». Como el exponente es negativo, el valor absoluto es 1/(2,3⁵), por lo que: (−2,3)^−10/2 = − 1/(2,3⁵) = −0,0155...