Complemento de Schur

El complemento de Schur surge como resultado de realizar un bloque de eliminación Gaussiana al multiplicar la matriz M desde la derecha por la matriz "triangular inferior"

${\displaystyle L=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right].}$

Aquí I_p denota una matriz identidad de orden p×p. Después de la multiplicación por la matriz L aparece el complemento de Schur en el bloque superior de orden p×p. La matriz del producto es

${\displaystyle {\begin{aligned}ML&=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{matrix}}\right]\\[4pt]&=\left[{\begin{matrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{matrix}}\right].\end{aligned}}}$

Esto es análogo a una factorización LU. Es decir, se ha demostrado que

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right],\end{aligned}}}$

y el inverso de M se puede expresar como D⁻¹ y el inverso del complemento de Schur (si existe) solo como

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\\[12pt]={}&\left[{\begin{matrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right].\end{aligned}}}$

Un lema sobre la inversión de matrices ilustra las relaciones entre lo anterior y la deducción equivalente con las posiciones de A y D intercambiadas.

• Si M es una matriz simétrica definida positiva, entonces también lo es el complemento de Schur de D en M.

• Si p y q son ambos 1 (es decir, A, B, C y D son todos escalares), se obtiene la familiar fórmula para el inverso de una matriz de 2 por 2:

${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}$

siempre que AD − BC no sea cero.

• El determinante de M también se ve claramente como dado por

${\displaystyle \det(M)=\det(D)\det(A-BD^{-1}C)}$

que generaliza la fórmula del determinante para matrices de 2x2.

• (Fórmula de adición de rango de Guttman) El rango de M viene dado por

${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (D)+\operatorname {rank} (A-BD^{-1}C)}$

• (Fórmula de aditividad inercial de Haynsworth) La "inercia" de un bloque de la matriz "M" es igual a la inercia de "A" más la inercia de "M"/"A".

El complemento de Schur surge naturalmente al resolver un sistema de ecuaciones lineales como

${\displaystyle Ax+By=a\,}$

${\displaystyle Cx+Dy=b\,}$

donde x, a son vectores columna p dimensionales; y, b son vectores columna q dimensionales; y A, B, C, D son como los anteriores. Multiplicando la ecuación inferior por ${\displaystyle BD^{-1}}$ y luego restando de la ecuación superior, se obtiene

${\displaystyle (A-BD^{-1}C)x=a-BD^{-1}b.\,}$

Por lo tanto, si es posible invertir D y el complemento de Schur de D, se puede resolver x; y al usar la ecuación ${\displaystyle Cx+Dy=b}$ puede resolverse y. Esto reduce el problema de invertir una matriz ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ a la de invertir una matriz de p×p y una matriz q×q. En la práctica, se necesita que D esté bien condicionada para que este algoritmo sea numéricamente preciso.

En ingeniería eléctrica esto se conoce como eliminación de nudos o reducción de Kron.

Supóngase que los vectores columna aleatorios X, Y están definidos en Rⁿ y R^m respectivamente, y el vector ( X,Y ) en R^n+m define una distribución normal multivariante cuya covarianza es la matriz simétrica positiva definida

${\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right],}$

donde ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ es la matriz de covarianza de X, ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{m\times m}}$ es la matriz de covarianza de Y y ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$ es la matriz de covarianza entre X e Y.

Entonces, la covarianza condicional de X dado Y es el complemento de Schur de C en ${\displaystyle \Sigma }$:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X\mid Y)=A-BC^{-1}B^{T}.}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)=\operatorname {E} (X)+BC^{-1}(Y-\operatorname {E} (Y)).}$

Si se considera que la matriz ${\displaystyle \Sigma }$ anterior es, no una covarianza de un vector aleatorio, sino una covarianza de "muestra", entonces puede tener una distribución de Wishart. En ese caso, el complemento de Schur de C en ${\displaystyle \Sigma }$ también tiene una distribución de Wishart.

Sea X una matriz simétrica dada por

${\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right].}$

sea X/A el complemento de Schur de A en X, es decir

${\displaystyle X/A=C-B^{T}A^{-1}B,\,}$

y sea X/C el complemento de Schur de C en X, es decir

${\displaystyle X/C=A-BC^{-1}B^{T}.\,}$

Entonces

• X es positiva definida si y solo si A y X/A son ambos positivos definidos:

${\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow A\succ 0,X/A=C-B^{T}A^{-1}B\succ 0}$.

• X es positivo definido si y solo si C y X/C son ambos positivos definidos:

${\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow C\succ 0,X/C=A-BC^{-1}B^{T}\succ 0}$.

• Si A es positivo definido, entonces X es positivo semidefinido si y solo si X/A es positivo semidefinido:

${\displaystyle {\text{If}}}$ ${\displaystyle A\succ 0}$, ${\displaystyle {\text{then}}}$ ${\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow X/A=C-B^{T}A^{-1}B\succeq 0}$.

• Si C es positivo definido, entonces X es positivo semidefinido si y solo si X/C es positivo semidefinido:

${\displaystyle {\text{If}}}$ ${\displaystyle C\succ 0}$, ${\displaystyle {\text{then}}}$ ${\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow X/C=A-BC^{-1}B^{T}\succeq 0}$.

Los enunciados primero y tercero se pueden derivar de[3] considerando el minimizador de la cantidad

${\displaystyle u^{T}Au+2v^{T}B^{T}u+v^{T}Cv,\,}$

como una función de v (para u fijo).

Además, desde

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right]\succ 0\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix}C&B^{T}\\B&A\end{matrix}}\right]\succ 0}$

y de manera similar para las matrices semi-definidas positivas, la segunda declaración (y respectivamente la cuarta) es inmediata a partir de la primera declaración (o en su caso, de la tercera).

También hay una condición suficiente y necesaria para la semidefinición positiva de X en términos de un complemento de Schur generalizado.[1] Precisamente,

• ${\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow A\succeq 0,C-B^{T}A^{g}B\succeq 0,(I-AA^{g})B=0\,}$ y
• ${\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow C\succeq 0,A-BC^{g}B^{T}\succeq 0,(I-CC^{g})B^{T}=0,}$

donde ${\displaystyle A^{g}}$ denota el inverso generalizado de ${\displaystyle A}$.

• Proceso de Gauss