Factorización LU

Sea ${\displaystyle A}$ una matriz invertible (si lo fuera, entonces la descomposición podría no ser única). Tenemos que

${\displaystyle A=LU}$,

donde ${\displaystyle L}$ y ${\displaystyle U}$ son matrices inferiores y superiores triangulares respectivamente.

Para matrices ${\displaystyle 3\times 3}$, esto es${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\l_{31}&l_{32}&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{pmatrix}}}$.

Por otro lado la descomposición PLU tiene esta forma:

${\displaystyle L_{m-1}P_{m-1}...L_{2}P_{2}L_{1}P_{1}A=U}$

Con ${\displaystyle L_{m-1}...L_{1}}$ matrices triangulares inferiores, ${\displaystyle P_{m-1}...P_{1}}$ matrices de permutación y ${\displaystyle U}$ una matriz triangular superior.

Para determinar ${\displaystyle L}$ tenemos que

${\displaystyle L=({L'}_{m-1}*...*{L'}_{2}*{L'}_{1})^{-1}}$

y cada ${\displaystyle {L'}_{k}}$ está dado por:

${\displaystyle {L'}_{k}}$ = ${\displaystyle {P}_{m-1}*...*{P}_{k+1}*{L}_{k}*{P^{-1}}_{k+1}*...*{P^{-1}}_{m-1}}$

Esto se debe a que ${\displaystyle {L'}_{k}}$ es igual a ${\displaystyle L_{k}}$, pero con los elementos de la subdiagonal permutados.

Otra forma de ver este tipo de factorización es: ${\displaystyle A=P^{T}LU}$. Recordando que las matrices de permutación. La matriz permutación es invertible y su inversa es su traspuesta

Las matrices ${\displaystyle L}$y ${\displaystyle U}$ son únicas, si la matriz no es singular. En caso contrario pueden no ser únicas.

Demostración:

Dada la matriz ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {R} )}$, tenemos que ${\displaystyle A=L_{1}U_{1}}$ y ${\displaystyle A=L_{2}U_{2}}$. Recordemos que ${\displaystyle L_{1},U_{1},L_{2},U_{2}}$ son invertibles por tener el determinante distinto de cero entonces:

${\displaystyle L_{1}U_{1}=L_{2}U_{2}}$, y también ${\displaystyle {L_{2}}^{-1}L_{1}=U_{2}{U_{1}}^{-1}}$Entonces ${\displaystyle {L_{2}}^{-1}L_{1}}$ es una matriz triangular inferior, con unos en la diagonal y ${\displaystyle U_{2}{U_{1}}^{-1}}$ es triangular superior (recordando que el producto matricial de triangulares superiores/inferiores es triangular superior/inferior). La única matriz que cumple estas dos propiedades es la identidad. Por lo tanto:

${\displaystyle {L_{2}}^{-1}L_{1}=I}$y ${\displaystyle U_{2}{U_{1}}^{-1}=I}$.

Con lo cual se concluye que ${\displaystyle L_{1}=L_{2}}$ y ${\displaystyle U_{1}=U_{2}}$

La factorización ${\displaystyle LU}$es básicamente una forma modificada de la eliminación gaussiana. Transformamos la matriz ${\displaystyle A}$ en una matriz triangular superior ${\displaystyle U}$anulando los elementos debajo de la diagonal. Entonces,

${\displaystyle E_{1}*E_{2}*...*E_{n}*A=U}$,

donde ${\displaystyle E_{1},E_{2},...,E_{n}}$ son matrices elementales, que representan los distintos pasos de la eliminación. Luego recordando que la inversa de una matriz elemental, es otra matriz elemental tenemos que

${\displaystyle A=E_{n}^{-1}*...*E_{2}^{-1}*E_{1}^{-1}*U}$.

Llamamos ${\displaystyle L}$a ${\displaystyle E_{n}^{-1}*...*E_{2}^{-1}*E_{1}^{-1}}$ una matriz triangular inferior.