Matriz triangular

Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:

${\displaystyle U=\left[{\begin{array}{ccccccc}u_{11}&u_{12}&u_{13}&.&.&.&u_{1n}\\0&u_{22}&u_{23}&.&.&.&u_{2n}\\0&0&u_{33}&.&.&.&u_{3n}\\.&.&..&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\0&0&0&.&.&.&u_{nn}\\\end{array}}\right]}$

Análogamente, se dice que es una matriz triangular inferior una matriz de la forma:

${\displaystyle L=\left[{\begin{array}{ccccccc}l_{11}&0&0&.&.&.&0\\l_{21}&l_{22}&0&.&.&.&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}&.&.&.&0\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\l_{n1}&l_{n2}&l_{n3}&.&.&.&l_{nn}\\\end{array}}\right]}$

Se suelen emplear las letras U y L, respectivamente, ya que U es la inicial de upper triangular matrix y L de lower triangular matrix, los nombres que reciben estas matrices en inglés.

Esta matriz es triangular superior:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&4&2\\0&3&4\\0&0&1\end{array}}\right]}$

Esta matriz es triangular inferior:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\end{array}}\right]}$

Esta matriz es triangular superior unitaria, ya que los elementos en su diagonal son 1, la matriz triangular inferior unitaria es análoga:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&4&2&5&6\\0&1&4&8&-1\\0&0&1&4&3\\0&0&0&1&3\\0&0&0&0&1\\\end{array}}\right]}$

• Una matriz triangular superior e inferior diagonaliza en una base de vectores propios(matriz diagonal) SI Y SOLO SI los elementos de su diagonal son distintos dos a dos.
• El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).
• La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.
• El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal.
• Una matriz triangular es invertible si y solo si todos los elementos de la diagonal son no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es otra matriz triangular superior (inferior).
• Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal.

Al resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma ${\displaystyle Ax=b}$, es común usar algún método de factorización para descomponer la matriz A en factores tales que simplifiquen o faciliten la solución del sistema, tenemos por ejemplo la factorización LU que descompone A en dos matrices triangulares, una inferior (Lower) ${\displaystyle L}$, y otra superior (Upper) ${\displaystyle U}$, tal que ${\displaystyle A=LU}$, obteniendo el sistema equivalente ${\displaystyle LUx=b}$, que reemplazando ${\displaystyle Ux}$ por ${\displaystyle y}$ puede resolverse separadamente para ${\displaystyle Ly=b}$ y luego para ${\displaystyle Ux=y}$.

Un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial

${\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$

o

${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$

es muy fácil de resolver. El primer sistema puede escribirse como

${\displaystyle {\begin{matrix}l_{1,1}x_{1}&&&&&=&b_{1}\\l_{2,1}x_{1}&+&l_{2,2}x_{2}&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &\ddots &&&\vdots \\l_{m,1}x_{1}&+&l_{m,2}x_{2}&+\ldots +&l_{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

que puede resolverse siguiendo un simple algoritmo recursivo

${\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{l_{1,1}}},}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {b_{2}-l_{2,1}x_{1}}{l_{2,2}}},}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{m}={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}l_{m,i}x_{i}}{l_{m,m}}}.}$

De forma análoga puede resolverse un sistema dado por una matriz triangular superior.

La factorización de Cholesky y la factorización LDLT, son otros métodos para descomponer la matriz A en matrices triangulares, aunque estos requieren que la matriz A sea simétrica y adicionalmente para la factorización de Cholesky que sea definida positiva.

• Matriz simétrica
• Matriz antisimétrica