Computación adiabática cuántica

A continuación se ilustra el algoritmo con un ejemplo sencillo de un solo cúbit. Supongamos que se quiere hallar el estado fundamental del Hamiltoniano

${\displaystyle H_{F}={\frac {1}{2}}I+{\frac {1}{2}}\sigma _{z}}$ ,

con autovalores ${\displaystyle 1}$ y ${\displaystyle 0}$. Para ello se puede partir del Hamiltoniano

${\displaystyle H_{I}={\frac {1}{2}}I-{\frac {1}{2}}\sigma _{x}}$

con autovalores ${\displaystyle 0}$ y ${\displaystyle 1}$ e interpolando linealmente, se obtiene el Hamiltoniano dependiente del tiempo

${\displaystyle H=(1-s)H_{I}+sH_{F}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}s+1&s-1\\s-1&1-s{\frac {}{}}\end{pmatrix}}}$ .

Los autovalores del Hamiltoniano ${\displaystyle H}$ son ${\displaystyle 1/2\pm {\sqrt {1-2s+2s^{2}}}/2\,}$, cuya distancia mínima es ${\displaystyle g_{\min }=0.8535...}$ para ${\displaystyle s=1/2}$ y, por tanto, se puede evolucionar del estado fundamental de ${\displaystyle H_{I}}$ al estado fundamental de ${\displaystyle H_{F}}$ . Nótese que es importante comenzar con un Hamiltoniano ${\displaystyle H_{I}}$ que no sea diagonal, ya que en ese caso los autovalores de ${\displaystyle H}$ serían ${\displaystyle s}$ y ${\displaystyle 1-s}$, y la distancia mínima entre los niveles se haría cero, impidiendo aplicar la aproximación adiabática.

Se podría ver este problema como una cláusula que se cumple si y solo si ${\displaystyle z=1}$ (autovector ${\displaystyle |1\rangle }$), es decir, si ${\displaystyle H_{F}}$ está en el estado fundamental (autovalor ${\displaystyle 0}$). Para obtener el estado ${\displaystyle |1\rangle }$ se evoluciona el estado fundamental del Hamiltoniano ${\displaystyle H_{I}}$, que se supone conocido.[1]

El algoritmo de Grover permite buscar un elemento en una lista desordenada de modo cuadráticamente más rápido que un algoritmo clásico. Aunque el algoritmo se suele implementar con puertas cuánticas, se puede modelar la evolución adiabática para obtener de nuevo esta mejora cuadrática.

Supóngase que tenemos ${\displaystyle n}$ qubits y por tanto un espacio de Hilbert de dimensión ${\displaystyle N=2^{n}}$ con base ${\displaystyle |z\rangle }$, ${\displaystyle z\in \{0,1\}^{n}}$. Si se quiere encontrar un estado ${\displaystyle |m\rangle }$ en una lista desordenada de los ${\displaystyle N}$ estados de la base, se pueden tomar los Hamiltonianos inicial y final [2]

${\displaystyle H_{0}=\sum _{\{0,1\}^{n}\setminus \{0\}^{n}}|z\rangle \langle z|}$ y ${\displaystyle H_{f}=\sum _{\{0,1\}^{n}\setminus \{m\}}|z\rangle \langle z|}$ ,

cuyos estados fundamentales son ${\displaystyle |0...0\rangle }$ y ${\displaystyle |m\rangle }$, el elemento a encontrar. Si se toma como Hamiltoniano una interpolación lineal de ${\displaystyle H_{0}}$ y ${\displaystyle H_{f}}$,

${\displaystyle H(s)=(1-s)H_{0}+sH_{m}}$ ,

con ${\displaystyle s=t/T}$ , se obtiene la diferencia instantánea entre el nivel fundamental y el primer estado excitado:

${\displaystyle g(s)={\sqrt {\frac {N+4(N-1)(s^{2}-s)}{N}}}}$ .

El mínimo de esta diferencia es ${\displaystyle g_{\min }=1/{\sqrt {N}}}$ , y se obtiene para ${\displaystyle s=1/2}$ . Puesto que ${\displaystyle |\langle dH/ds\rangle _{1,0}|\leq 1}$, la condición adiabática se cumplirá si ${\displaystyle T\geq N/\epsilon }$ . Sin embargo, vemos que no se consigue recuperar la ventaja cuadrática del algoritmo de Grover.

Para obtener un tiempo del orden ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$ se debe cambiar ligeramente nuestro argumento: podemos dividir el tiempo ${\displaystyle T}$ en intervalos infinitesimales y aplicar en cada uno la condición adiabática

${\displaystyle {\Big |}{\frac {ds}{dt}}{\frac {\langle dH/ds\rangle _{1,0}}{g(s)^{2}}}{\Big |}\ll 1}$ .

Si se toma ${\displaystyle s(t)}$ solución de la ecuación

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\epsilon \,g^{2}(s)}$ ,

se satisface la condición. Integrando la ecuación en ${\displaystyle s\in [0,1]}$, se obtiene el intervalo de tiempo ${\displaystyle [0,T]}$ y, suponiendo que ${\displaystyle N\gg 1}$, se obtiene que el tiempo que habría que evolucionar adiabáticamente el sistema es ${\displaystyle T={\frac {\pi }{2\epsilon }}{\sqrt {N}}}$ . De hecho, se demuestra que esta mejora es óptima.[6]