Conjunto de Julia

Una familia muy notable de conjuntos de Julia se obtienen a partir de funciones cuadráticas simples: ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}$, donde ${\displaystyle c\,}$ es un número complejo. El conjunto de Julia que se obtiene a partir de esta función se denota ${\displaystyle J_{c}\,}$.

Un algoritmo para obtener el conjunto de Julia de ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}$ es el siguiente:

Para todo complejo ${\displaystyle z\,}$ se construye por la siguiente sucesión:

${\displaystyle z_{0}=z\,}$

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$

Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que ${\displaystyle z\,}$ pertenece al conjunto de Julia de parámetro ${\displaystyle c\,}$, denotado por ${\displaystyle J_{c}\,}$; de lo contrario, ${\displaystyle z\,}$ queda excluido de éste.

En las imágenes anteriores, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge la sucesión (su módulo tiende a infinito): en rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto; y en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se pueden calcular infinitos valores, es preciso poner un límite, y decidir que si los ${\displaystyle n\,}$ primeros términos de la sucesión están acotados, el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de ${\displaystyle n\,}$ se mejora la precisión de la imagen.

Conjunto de Julia en 3D.

Se puede demostrar que si ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$ entonces la sucesión diverge y el punto ${\displaystyle z}$ no pertenece al conjunto de Julia. Por lo tanto, basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$ para tener la certeza de que ${\displaystyle z\,}$ no está en el conjunto.

Existe una relación muy fuerte entre los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot denotado por ${\displaystyle M\,}$, debido a la similitud de sus definiciones:

Se dice que ${\displaystyle c\,}$ pertenece a ${\displaystyle M\,}$ si y solo si ${\displaystyle J_{c}\,}$ es conexo.

Los resultados más vistosos se obtienen al tomar el parámetro ${\displaystyle c\,}$ en la frontera de ${\displaystyle M\,}$, pues si ${\displaystyle c\,}$ esta en el interior de ${\displaystyle M\,}$ resulta que ${\displaystyle J_{c}\,}$ toma el aspecto de un objeto redondo, poco fractal, y solo el borde tiene la apariencia de fractal. Por ejemplo si ${\displaystyle c=0}$ resulta que el conjunto de Julia es la circunferencia unitaria, con centro en el origen de coordenadas.

En las imágenes, se han tomado como valores de c: -1,3 + 0,00525·i; -0,72 – 0,196·i; -0,1 + 0,87·i y -0,51 – 0,601·i, por razones estéticas.

Se pueden generalizar estos conjuntos tomando otras relaciones de inducción: ${\displaystyle z_{n+1}=f(z_{n})\,}$ con cualquier función compleja ${\displaystyle f\,}$. Se puede también generalizar a cualquier dimensión, y emplear varias funciones en lugar de una sola.

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  f(z) = z² + 0.279
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  f(z) = z³ + 0.400
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  f(z) = z⁴ + 0.484
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  f(z) = z⁵ + 0.544
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  f(z) = z⁶ + 0.590
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  f(z) = z⁷ + 0.626
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  f(z) = exp(z) - 0.65
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  f(z) = exp(z³) - 0.59
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  f(z) = exp(z³) - 0.621
  Zoom x9
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  f(z) = z * exp(z) + 0.04
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  f(z) = z² * exp(z) + 0.21
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  f(z) = z³ * exp(z) + 0.33
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  f(z) = z⁴ * exp(Z) + 0.41
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  f(z) = Sqr[Sinh(z²)] + (0.065,0.122i)
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  f(z) = [(z²+z)/Ln(z)] +(0.268,0.060i)
• 
  f(z) = Cosh(Z) +(-0.45,0.00i)
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  f(z) = Sin(Z) +(4.0,0.88i)

• Anexo:Fractales por dimensión de Hausdorff

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