Sucesión (matemática)

Existen diferentes notaciones y nociones de sucesión en matemática, dependiendo del área de estudio, algunas de las cuales (como por ejemplo sucesión exacta) no quedan comprendidas en la notación que se introduce a continuación.

Se suele usar la notación ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ para indicar una sucesión, donde ${\displaystyle a_{n}}$ hace referencia al elemento de la sucesión en la posición n, llamado término general. El subíndice ${\displaystyle {n\in \mathbb {N} }}$ indica el lugar que ocupa en dicha sucesión. Un ejemplo puede ser el de los números positivos pares, denotando dicha sucesión por ${\displaystyle \{a_{n}\}}$:

${\displaystyle \{a_{n}\}=2,4,6,8,10,12,\,...}$

entonces

${\displaystyle a_{1}=2,\ a_{2}=4,\ a_{3}=6,\ a_{4}=8,\ldots }$

En el caso de que los elementos de la sucesión queden determinados por una regla, se puede especificar la sucesión haciendo referencia a la fórmula de un término arbitrario. En la sucesión anterior ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ puede especificarse mediante la fórmula ${\displaystyle a_{n}=2n}$.

Es frecuente encontrar sucesiones donde los subíndices que denoten posición inicien desde cero, en vez desde uno, particularmente en matemática discreta o en ciencias de la computación. También se puede usar una variable distinta a n para denotar el término general, cuando así convenga para evitar confusión con otras variables.

En la literatura es posible encontrar una gran variedad de notaciones alternativas. Por ejemplo, uso de paréntesis en vez de llaves, o indicaciones de los límites mediante variantes con super y subíndices, a continuación se muestran algunos pocos ejemplos:

• ${\displaystyle (a_{n})=a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$
• ${\displaystyle (a_{k})_{k=1}^{m}=a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{m}}$
• ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }=a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,}$

Una relación de recurrencia para una sucesión ${\displaystyle \left\{{a_{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ es una ecuación la cual establece el término a_n en función de los términos anteriores ${\displaystyle a_{0},\;a_{1},\;a_{2},\;...\;,\;a_{n_{0}-1}}$ para todos los enteros n tales que ${\displaystyle n\geq n_{0}}$. La sucesión en sí es la solución de la relación de recurrencia si sus términos cumplen la relación para todo entero positivo n.

Los algoritmos recursivos proporcionan solución a un problema de tamaño n en términos de la solución de uno o más casos del mismo problema, pero de menor tamaño. Un ejemplo de sucesión por recurrencia es la sucesión de Fibonacci, en la cual, cada término a partir del tercero es la suma de los dos términos anteriores. Esta sucesión en términos generales se define como:

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\,}$

Cuando se realiza la complejidad de un algoritmo recursivo basado en una sucesión, se obtiene una relación de recurrencia que expresa el número de operaciones necesarias para resolver un problema de tamaño n en términos del número de operaciones necesarias para resolver el mismo problema con unos datos de tamaño menor.

De esta manera, se puede comprobar la existencia de una gran relación entre las relaciones de recurrencia y la recursión, ya que sirven para resolver una gran cantidad de problemas como, por ejemplo, calcular el interés compuesto, calcular el número de movimientos del juego de las Torres de Hanói y el número de conejos de una isla (problema propuesto por Fibonacci y relacionado con la sucesión de Fibonacci).

Entre las sucesiones comunes y muy utilizadas se pueden encontrar la progresión aritmética y la progresión geométrica. La diferencia básica es que en la progresión aritmética el paso de un término al siguiente es la suma de una constante, y en la progresión geométrica el siguiente término de la sucesión se obtiene multiplicando una constante. En el primer caso la diferencia entre términos consecutivos es constante, mientras que en la segunda la razón o cociente entre términos consecutivos es constante:

Progresión aritmética: ${\displaystyle a_{i}=a_{i-1}+d\quad \rightarrow \quad d=a_{i}-a_{i-1}\;;\quad i=1,2,\dots \,;\;d=cte.}$

Progresión geométrica: ${\displaystyle x_{i}=r\ x_{i-1}\quad \rightarrow \quad r={\dfrac {a_{i}}{a_{i-1}}}\;;\quad i=1,2,\dots \,;\;r=cte.}$

Existe también la progresión aritmética de segundo orden en la que diferencia entre los términos consecutivos de la progresión no es una constante, sino que a su vez constituyen una progresión aritmética: ${\displaystyle a_{i}=a_{i-1}+d_{i}\;;\quad d_{i}=d_{i-1}+c\;;\quad i=1,2,\dots \,;\;c=cte.}$

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales sobre otro conjunto numérico X, de manera:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}a:&\mathbb {N} &\longrightarrow &X\\&n&\longmapsto &a_{n}\end{array}}}$

Una sucesión siendo el conjunto X = N puede ser por ejemplo, la sucesión de Fibonacci. Por norma general, la sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales en los números reales. En cualquier caso se denota simplemente como ${\displaystyle \left\{{a_{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también se denota como ${\displaystyle \left\{{a_{n}}\right\}_{n\geq 0}}$.

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales; así, si la imagen de ${\displaystyle a_{}^{}}$ fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {x}{y}},\;y\neq 0}$, se puede llamar sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, …

Una sucesión finita ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ (de longitud r) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

${\displaystyle f:\{1,2,\ldots ,r\}\;\longrightarrow \;S}$

y en este caso el elemento ${\displaystyle a_{n}}$ corresponde a ${\displaystyle f(n)}$. Por ejemplo, la finitud e infinitud, (de longitud 4) de números primos menores que 10 (2,3,5,7) corresponde a la función ${\displaystyle f:\{1,2,3,4\}\to \mathbb {P} }$ (donde ${\displaystyle \mathbb {P} }$ es el conjunto de números primos) definida por:

${\displaystyle f(1)=2\;,\quad f(2)=3\;,\quad f(3)=5\;,\quad f(4)=7}$

Una sucesión infinita ${\displaystyle \{a_{k}\}}$ con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

${\displaystyle f:\mathbb {N} \;\longrightarrow \;S}$

en donde, de forma análoga, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ corresponde a ${\displaystyle f(n)}$.

Una subsucesión o sucesión parcial de una sucesión ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ es la sucesión formada de la sucesión dada mediante la eliminación de algunos de sus elementos sin perturbar la posición relativa de los elementos restantes. Por ejemplo, la sucesión formada por los números pares positivos (2, 4, 6, …) es una sucesión parcial de los números naturales (1, 2, 3, …). Las posiciones de algunos elementos cambian cuando se eliminan otros elementos. Sin embargo, las posiciones relativas se conservan.

Formalmente, una subsucesión de una sucesión ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ es cualquier sucesión de la forma ${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }}$, donde ${\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ es una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos. Obviamente para una sucesión existen varias subsucesiones.[1]

En una sucesión monótona, la diferencia entre cada término y el siguiente es siempre del mismo signo. Pueden ser crecientes o decrecientes.[2]

Una sucesión creciente es aquella en la que se impone la desigualdad no estricta ${\displaystyle a_{n}^{}\leq a_{n+1}}$, es decir, en la que cada término es menor o igual al término siguiente. Dentro de estas se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes. Si se impone la condición de que ${\displaystyle a_{n}^{}<a_{n+1}}$, es decir, que el siguiente término ${\displaystyle a_{n+1}^{}}$ siempre sea estrictamente mayor que su predecesor ${\displaystyle a_{n}^{}}$, se denominan sucesiones estrictamente crecientes.

De la misma manera se puede definir la sucesión decreciente, según el término general, si ${\displaystyle a_{n}^{}\geq a_{n+1}}$. Será estrictamente decreciente si ${\displaystyle a_{n}^{}>a_{n+1}}$.

• 
  Ejemplo de una sucesión creciente
• 
  Ejemplo de una sucesión decreciente

Se pueden dar tres formas de sucesión acotada:

• Una sucesión {a_n} estará acotada superiormente en el caso de que exista un número real M que limite de la siguiente forma la secuencia: {a_n} ≤ M.
• Por otro lado, la sucesión estará acotada inferiormente cuando un número real N la limite de la forma contraria a la anterior: {a_n} ≥ N.
• Finalmente, en caso de que se den ambas opciones {a_n} será una sucesión acotada.

Una propiedad importante de las sucesiones es la convergencia. Si una sucesión converge, esta tiende a un valor particular conocido como límite. Si una sucesión converge a algún límite, entonces es convergente. Una sucesión que no es convergente es divergente.

Informalmente, una sucesión tiene límite si los elementos de la sucesión se hacen cada vez más y más cercanos a algún valor ${\displaystyle L}$ (llamado límite de la sucesión), y se quedan «arbitrariamente» cercanos a ${\displaystyle L}$, lo que significa que dado un número real ${\displaystyle \varepsilon }$ mayor que cero, todos menos un número finito de elementos de la sucesión tienen una distancia a ${\displaystyle L}$ menor que ${\displaystyle \varepsilon }$.

Formalmente, una sucesión ${\displaystyle \{a_{n}\},\ a_{n}\in \mathbb {R} }$, converge a ${\displaystyle L}$ o tiene por límite ${\displaystyle L}$ (cuando ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$), y se escribe,

${\displaystyle \lim _{n}a_{n}=L}$

cuando,

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N}$ :\mid a_{n}-L\mid <\varepsilon ,\forall n\geq n_{0}}

Esto quiere decir que, la sucesión es convergente si existe un lugar (en la sucesión) a partir del cual la diferencia entre los términos de la sucesión y el límite sea pequeña.

Se puede comprobar fácilmente que si una sucesión ${\displaystyle \{a_{n}\},\ a_{n}\in \mathbb {R} }$ es convergente, entonces el ${\displaystyle \lim _{n}a_{n}}$ es único (se aplica reducción al absurdo y se llega a una contradicción) y la sucesión es acotada (consecuencia inmediata de la definición).

Ejemplo de una sucesión alternada.

La sucesiones oscilantes son divergentes. Sus términos alternan indefinidamente de mayor a menor o viceversa, por lo que no tienen límite. Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$ que genera la sucesión: a₀=1, -1, 1, -1, 1, -1, …, utilizada por series alternadas.

Gráfica de una sucesión de Cauchy {x_n}.

Dada la sucesión {a_n} de números reales, se llama sucesión de Cauchy o sucesión fundamental, en el caso de que satisfaga el requisito siguiente: dado un número real r positivo se pueda conseguir dos enteros positivos p, q tal que de p > n₀ y q > n₀ se deduzca que |c_p - c_q| < r.[3]

En los números reales toda sucesión de Cauchy converge a algún límite. Esta particularidad implica un resultado importante en el análisis real que es la caracterización de Cauchy para la convergencia de sucesiones:

Una sucesión de números reales es convergente (en los reales) si y solo si es de Cauchy.

A los espacios métricos que verifiquen la implicación hacia la izquierda se les llama espacios completos. O sea, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es un espacio completo. En general, se puede probar fácilmente que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ es un espacio completo.

Compruébese que ${\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}^{}\}=f(n)=f(n)+\sin(n\pi )}$, ilustrando que dos funciones reales diferentes pueden corresponder a una misma sucesión sobre los enteros.

Dada una función ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$, llamaremos extensión en los reales de ${\displaystyle f_{}^{}}$ a una función ${\displaystyle P:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ cuyos valores coinciden en el dominio de ${\displaystyle f_{}^{}}$, es decir, ${\displaystyle f_{|\mathbb {N} }=P_{|\mathbb {N} }}$.

Es incorrecto representar a la extensión en los reales con el mismo nombre (${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$), pues, se trata de una asociación totalmente arbitraria y no unívoca que trae confusión y no tiene sentido para algunas funciones definidas a trozos. Se suele llamar a la extendida por ejemplo ${\displaystyle P_{}^{},\;Q_{}^{},\;\phi _{}^{}}$ o ${\displaystyle \psi _{}^{}}$ si es un polinomio, o ${\displaystyle g_{}^{}}$ o ${\displaystyle h_{}^{}}$ si son funciones trigonométricas, agregando subíndices si hace falta.

La función f puede adquirir propiedades de la extendida P, si existe P con dichas propiedades, como límites al infinito, monotonía, acotaciones, entre otras.

Se puede tener una sucesión ${\displaystyle \left\{{a^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb {N} }}$ tal que ${\displaystyle {a^{(i)}}{:=(a_{1}^{(i)},...,a_{n_{i}}^{(i)},0,...){\text{, donde }}a_{j}^{(i)}}\in \mathbb {C} -\left\{0\right\}}$

Se puede tener una sucesión ${\displaystyle \left\{{V^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb {N} }}$ tal que ${\displaystyle {V^{(i)}}{:=(a_{1}^{(i)},...,a_{n}^{(i)}){\text{, donde }}a_{j}^{(i)}}\in \mathbb {C} }$

Un polinomio ${\displaystyle P(x)\in K[x]}$ no es más que una sucesión finita ${\displaystyle \left\{{a_{n}}\right\}_{n}}$ tal que ${\displaystyle a_{n}\in K}$ representada como ${\displaystyle P(x)_{}^{}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}$.

Se puede tener una sucesión ${\displaystyle \left\{{A_{i}}\right\}_{i\in \mathbb {N} }}$ tal que ${\displaystyle A_{i}:={\begin{pmatrix}a_{1,1}^{(i)}&\ldots &a_{1,n}^{(i)}\\\vdots &&\vdots \\a_{m,1}^{(i)}&\ldots &a_{m,n}^{(i)}\end{pmatrix}}}$, donde ${\displaystyle a_{j,k}^{(i)}\in K}$.

Se puede tener una sucesión ${\displaystyle \left\{{V_{i}^{}}\right\}_{i\epsilon \mathbb {N} }}$, donde ${\displaystyle V_{n}^{}:=\alpha _{n}B}$, donde ${\displaystyle \alpha _{n}\in \mathbb {R} }$ es una sucesión real arbitraria y B un abierto.

Se puede tener una sucesión de funciones continuas ${\displaystyle \left\{{{f(x)}_{n}}\right\}_{n\epsilon \mathbb {N} }=\sin(x)^{n}}$.

Sea ${\displaystyle \mathrm {A} _{}}$ un alfabeto, llamaremos ${\displaystyle \mathrm {A} ^{n}}$ al conjunto de sucesiones finitas de n elementos de ${\displaystyle \mathrm {A} _{}}$, se define inductivamente por la sucesión de productos cartesianos siguiente: ${\displaystyle \mathrm {A} ^{1}=\mathrm {A} ,\mathrm {A} ^{2}=\mathrm {A} \times \mathrm {A} ,\,\cdots ,\,\mathrm {A} ^{n}:=\mathrm {A} ^{n-1}\times \mathrm {A} }$

• así ${\displaystyle \langle a_{1},\cdots ,a_{n}\rangle$ :=\langle \langle a_{1},\cdots ,a_{n-1}\rangle ,a_{n}\rangle \in \mathrm {A} ^{n}{\text{, y }}a_{i}:=\langle a_{i}\rangle \in \mathrm {A} } .

El complejo de cadenas simplicial del complejo simplicial K, no es más que una determinada sucesión de grupos abelianos y morfismos.

Sea ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ una categoría, podemos tener una sucesión ${\displaystyle \left\{{A_{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$, donde ${\displaystyle A_{n}^{}\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})}$.