Conjunto perfecto

Sea S un conjunto y S′ el conjunto de sus puntos de acumulación. Nótese que un conjunto S de un espacio topológico es cerrado cuando ${\displaystyle S'\subseteq S}$, es decir, cuando ${\displaystyle S}$ contiene todos sus puntos de acumulación. Dos conjuntos S y T están separados cuando son disjuntos y cuando los conjuntos derivados, formados por sus puntos de acumulación, también son disjuntos. En esas condiciones, el conjunto S es un conjunto perfecto si S = S′. Esto equivale a la definición original, un conjunto es perfecto si es un conjunto cerrado sin puntos aislados.

• Los conjuntos perfectos son importantes en las aplicaciones del teorema de categorías de Baire.
• Un conjunto perfecto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es necesariamente no numerable.
• El conjunto X^º de los puntos de condensación de X es un conjunto perfecto, i.e. cerrado y denso.[1]

• En ${\displaystyle \mathbb {R} }$, cualquier unión finita de intervalos cerrados de la forma ${\displaystyle [a_{i},b_{i}]\subset R}$ es un conjunto perfecto.
• El conjunto de Cantor es un conjunto perfecto, y por tanto no numerable.