Espacio de Baire

Un espacio topológico es llamado un espacio de Baire si la unión numerable de cualquier colección de conjuntos cerrados con interior vacío tiene un interior vacío.

Las siguientes son caracterizaciones alternas:

• Toda intersección de conjuntos abiertos densos es densa.
• El interior de toda unión numerable de conjuntos diseminados es vacío.
• Siempre que la unión de un número enumerable de conjuntos cerrados de X tiene un punto interior, uno de los subconjuntos cerrados debe tener un punto interior.

• Dado R con la topología usual, los racionales son de primera categoría y los irracionales son de segunda categoría
• Los reales con la métrica usual son un espacio de Baire (Véase el teorema de categorías de Baire más adelante)
• Todo espacio homeomorfo a un subconjunto abierto de un espacio pseudométrico es un espacio de Baire (esto incluye los irracionales con su topología estándar así como el conjunto de Cantor).
• Los espacios de Hausdorff localmente compactos son espacios de Baire (esto incluye todas las variedades).
• Los espacios topológicamente completos son espacios de Baire
• Todo espacio topológico homeomórfico a un espacio de Baire es un espacio de Baire
• El conjunto de Cantor es un espacio de Baire, pero pertenece a la primera categoría en el intervalo [0,1] con la topología usual
• El siguiente es un ejemplo para un conjunto de segunda categoría en R con medida de Lebesgue 0

${\displaystyle \bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }(r_{n}-{1 \over 2^{n+m}},r_{n}+{1 \over 2^{n+m}})}$

donde ${\displaystyle \left\{r_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ es una secuencia que enumera los números racionales.

Nótese que el espacio de los racionales con la topología usual heredada de los reales no es un espacio de Baire, puesto que es la unión de un número enumerable de conjuntos cerrados sin interior, los conjuntos unitarios.

• Cada espacio no vacío de Baire es de segunda categoría en sí mismo; toda intersección de un número enumerable de subconjuntos de abiertos densos de X es no vacío, pero los contrarios de ambas afirmaciones son falsos, como se muestra con la suma disjunta topológica de los racionales y el intervalo unitario [0,1].

• Todo subespacio abierto de un espacio de Baire es un espacio de Baire.

• Dada una familia de funciones continuas f_n:X→Y con límite f:X→Y. Si X es un espacio de Baire entonces los puntos donde f no es continua es deficiente en X y el conjunto de puntos donde f es continua es denso en X.

En teoría de conjuntos y ramas relacionadas de las matemáticas, un espacio de Baire es el conjunto de todas las sucesiones de número naturales. El espacio de Baire se nota frecuentemente B, N^N, o ω^ω.

B tiene la misma cardinalidad que el conjunto R de los reales, y puede usarse como conveniente sustituto de R en algunos contextos en teoría de conjuntos.

B también es de interés independiente pero menor en análisis real, donde se le considera como un espacio uniforme: el pridunto de un número enumerable de copias del espacio discreto N. Este es un espacio de Baire en el sentido topológico. Como espacio topológico, B es homeomorfo al conjunto Ir de los irracionales con su topología estándar heredada de los reales. El homeomorfismo entre B e Ir puede ser construido utilizando fracciones continuas. Sin embargo, la estructura uniforme de B e Ir son diferentes: B es un espacio completo mientras que Ir no lo es.

El espacio de Baire puede ser contrastado con el espacio de Cantor, el conjunto de secuencias infinitas de dígitos binarios.

• Munkres, James, Topology, 2nd edition, Prentice Hall, 2000.
• Baire, René-Louis (1899), Sur les fonctions de variables réelles, Annali di Mat. Ser. 3 3, 1—123.