Juego de Banach-Mazur

Sea ${\displaystyle Y}$ ser un espacio topológico no vacío, ${\displaystyle X}$ un subconjunto fijo de ${\displaystyle Y}$ y ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ una familia de subconjuntos de ${\displaystyle Y}$ que tienen las siguientes propiedades:

• Cada miembro de ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ tiene interior no vacío.
• Cada subconjunto abierto no vacío de ${\displaystyle Y}$ contiene un miembro de ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$.

Los jugadores, ${\displaystyle P_{1}}$ y ${\displaystyle P_{2}}$ elegir alternativamente elementos de ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ para formar una secuencia ${\displaystyle W_{0}\supseteq W_{1}\supseteq \cdots .}$

${\displaystyle P_{1}}$ gana si y solo si

${\displaystyle X\cap \left(\bigcap _{n<\omega }W_{n}\right)\neq \emptyset .}$

De otra manera, ${\displaystyle P_{2}}$ gana. A esto se le llama un juego general de Banach-Mazur y se denota por ${\displaystyle MB(X,Y,{\mathcal {W}}).}$

• ${\displaystyle P_{2}}$ tiene una estrategia ganadora si y solo si ${\displaystyle X}$ es de la primera categoría en ${\displaystyle Y}$ (un conjunto es de la primera categoría o escaso si es la unión contable de conjuntos densos en ninguna parte).
• Si ${\displaystyle Y}$ es un espacio métrico completo, ${\displaystyle P_{1}}$ tiene una estrategia ganadora si y solo si ${\displaystyle X}$ es comeager en algún subconjunto abierto no vacío de ${\displaystyle Y.}$
• Si ${\displaystyle X}$ tiene la propiedad de Baire en ${\displaystyle Y}$, entonces ${\displaystyle MB(X,Y,{\mathcal {W}})}$ está determinado.
• Los espacios tamizables y fuertemente tamizables introducidos por Choquet se pueden definir en términos de estrategias estacionarias en modificaciones adecuadas del juego. Dejar ${\displaystyle BM(X)}$ denota una modificación de ${\displaystyle MB(X,Y,{\mathcal {W}})}$ donde ${\displaystyle X=Y,{\mathcal {W}}}$ es la familia de todos los conjuntos abiertos no vacíos en ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle P_{2}}$ gana un juego ${\displaystyle (W_{0},W_{1},\cdots )}$ si y solo si ${\displaystyle \cap _{n<\omega }W_{n}\neq \emptyset .}$

Entonces ${\displaystyle X}$ es tamizable si y solo si ${\displaystyle P_{2}}$ tiene una estrategia ganadora estacionaria en ${\displaystyle BM(X).}$

• Una estrategia ganadora de Markov para ${\displaystyle P_{2}}$ en ${\displaystyle BM(X)}$ puede reducirse a una estrategia ganadora estacionaria. Además, si ${\displaystyle P_{2}}$ tiene una estrategia ganadora en ${\displaystyle BM(X)}$, entonces ${\displaystyle P_{2}}$ tiene una estrategia ganadora que depende solo de dos movimientos anteriores. Todavía es una cuestión sin resolver si una estrategia ganadora para ${\displaystyle P_{2}}$ puede reducirse a una estrategia ganadora que depende sólo de los dos últimos movimientos de ${\displaystyle P_{1}}$.
• ${\displaystyle X}$ se llama débilmente ${\displaystyle \alpha }$-favorable si ${\displaystyle P_{2}}$ tiene una estrategia ganadora en ${\displaystyle BM(X)}$. Entonces, ${\displaystyle X}$ es un espacio de Baire si y solo si ${\displaystyle P_{1}}$ no tiene una estrategia ganadora en ${\displaystyle BM(X)}$. De ello se deduce que cada débil ${\displaystyle \alpha }$-favorable es un espacio de Baire.

El caso especial más común surge cuando ${\displaystyle Y=J=[0,1]}$ y ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ constan de todos los intervalos cerrados en el intervalo unitario. Entonces ${\displaystyle P_{1}}$ gana si y solo si ${\displaystyle X\cap (\cap _{n<\omega }J_{n})\neq \emptyset }$ y ${\displaystyle P_{2}}$ gana si y solo si${\displaystyle X\cap (\cap _{n<\omega }J_{n})=\emptyset }$. Este juego se denota por ${\displaystyle MB(X,J).}$

• [1957] Oxtoby, J.C. The Banach–Mazur game and Banach category theorem, Contribution to the Theory of Games, Volume III, Annals of Mathematical Studies 39 (1957), Princeton, 159–163
• [1987] Telgársky, R. J. Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach–Mazur Game, Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227–276.
• [2003] Julian P. Revalski The Banach–Mazur game: History and recent developments, Seminar notes, Pointe-a-Pitre, Guadeloupe, France, 2003–2004

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Banach–Mazur game», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.