Topología discreta

Si Y es un subconjunto de X, y la topología subespacio en Y es discreta, entonces Y es un subespacio discreto de X-

Supongamos que X es un espacio topológico y Y un subconjunto de X. Entonces Y es un subespacio discreto si y sólo si para cualquier ${\displaystyle y\in Y}$ existe un conjunto abierto V de X tal que

${\displaystyle V\cap Y=\{y\}.}$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, como espacio métrico bajo la métrica euclidiana ${\displaystyle d(m,n)=|m-n|}$ tiene la topología discreta. Esto es equivalente a considerar a ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ como subespacio topológico de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ or ${\displaystyle \mathbb {C} }$ con sus topologías usuales.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, como subespacio de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con la topología usual no es discreto: cualquier abierto que contiene a ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ contiene la intersección ${\displaystyle U=B(q,\epsilon )\cap \mathbb {Q} }$ de una bola abierta alrededor de ${\displaystyle q}$ con los números racionales. Por la densidad de los racionales, esta bola contiene una infinidad de números racionales.
• El conjunto ${\displaystyle F=\{1/n\mid n\in \mathbb {N} \}}$, como subespacio de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con la topología usual es discreto. Sin embargo, ${\displaystyle F\cup \{0\}}$ no lo es, pues cualquier abierto que contenga a cero, contiene alguna fracción de ${\displaystyle F}$.
• El producto de una cantidad finita de espacios discretos es discreta en la topología producto. El producto de una cantidad infinita de espacios discretos es discreto en la topología caja pero en general no lo es en la topología producto.