Topología usual

En Topología (rama de las matemáticas) se emplean muchas topologías (colección de abiertos). Una de las fundamentales y más empleadas es la topología usual.

Es un resultado conocido del Análisis Matemático que todas las normas sobre $\mathbb {R} ^{n}$ son equivalentes, esto quiere decir que todas las métricas asociadas a normas de $\mathbb {R} ^{n}$ inducen a la misma topología (colección de abiertos), es decir, que todas las normas sobre $\mathbb {R} ^{n}$ dan lugar a los mismos abiertos. El conjunto de estos abiertos es una topología y se le conoce como topología usual.[1]

Puntualizar que esto no es extensible a cualquier métrica, sino a las asociadas a las normas. Concretamente se tiene que la topología usual sobre $\mathbb {R}$ es la topología inducida por la distancia usual de forma que $\tau _{d_{usual}}=\tau _{usual}$ .

Al ser las bolas abiertas para esta distancia los intervalos abiertos y acotados, entonces, se da que en el espacio topológico $(\mathbb {R} ,\tau _{usual})$ los abiertos son las uniones arbitrarias de intervalos $x,y$ con $x,y\in \mathbb {R}$ .[2]

Hay un resultado importante respecto a la topología usual. Al inducir la topología usual sobre un conjunto finito se obtiene la topología discreta. Esto es la topología inducida $\tau _{Y}=\{Y\cap A:A\in \tau \}$ con Y el conjunto de los números naturales ℕ.[3]

Convergencia

Las sucesiones convergentes en $(\mathbb {R} ^{n},\tau _{usual})$ convergen a un único punto.

La demostración se basa en que, al ser inducida la topología usual por la distancia usual, $\tau _{d_{usual}}=\tau _{usual}$ , se tiene para todo par de puntos x,y de $\mathbb {R} ^{n}$ ( $x\neq y$ ) existen dos abiertos $x\in G_{x},y\in G_{y}$ disjuntos ( $G_{x}\cap G_{x}=\phi$ ), luego $(\mathbb {R} ^{n},\tau _{usual})$ es un espacio Hausdorff. Y se sabe que en un espacio Hausdorff toda sucesión converge a un único punto. Fin de la demostración.

Ejemplos

Como se ha comentado antes en $(\mathbb {R} ,\tau _{usual})$ los abiertos son los intervalos y sus uniones.
En $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2$ se puede considerar la topología usual como la inducida por $d_{1},d_{2},...$ y en general por cualquier otra distancia asociada a una norma.
Los abiertos son uniones de bolas abiertas.[4]

Véase también

Referencias

Datos: Q97166343

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[1] «Topología usual».

[2] «Abiertos en topología usual».

[3] «Espacios topológicos --- Topología usual».

[4] «Bolas y abiertos topología usual».