Topología traza

Sean ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espacio topológico y ${\displaystyle Y}$ un subconjunto de ${\displaystyle X}$. Entonces, la topología traza sobre ${\displaystyle Y}$ es la topología menos fina que hace continua a la inyección canónica ${\displaystyle i:Y\hookrightarrow X}$, es decir, la aplicación definida por ${\displaystyle i(y)=y,\forall y\in Y}$.

Es posible probar que los abiertos de la topología traza sobre ${\displaystyle Y\subseteq X}$ son las intersecciones de ${\displaystyle Y}$ con los abiertos de ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}=\{Y\cap A:A\in {\mathcal {T}}\}}$.

La topología traza se denota mediante ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}}$ y se dice que ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}|_{Y})}$ es un subespacio topológico del espacio ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$. Si la aplicación ${\displaystyle i:Y\hookrightarrow X}$ es abierta, se dice que ${\displaystyle Y}$ es un subespacio abierto, y que ${\displaystyle Y}$ es un subespacio cerrado si ${\displaystyle i:Y\hookrightarrow X}$ es cerrada.

Propiedades de la topología traza sobre un subespacio ${\displaystyle Y\subseteq X}$:[1]

• Un conjunto ${\displaystyle U'\subseteq Y}$ es abierto en la topología ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}}$ si, y sólo si, existe un abierto ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ tal que ${\displaystyle U'=Y\cap U}$.
• Un conjunto ${\displaystyle U'\subseteq Y}$ es cerrado en la topología ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}}$ si, y sólo si, existe un cerrado ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle U'=Y\cap U}$.
• Si ${\displaystyle B\subseteq Y\subseteq X}$, entonces ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{B}=({\mathcal {T}}|_{Y})|_{B}}$.
• Si ${\displaystyle Y}$ es un subespacio abierto de ${\displaystyle X}$, un conjunto ${\displaystyle U'\subseteq Y}$ es abierto en ${\displaystyle Y}$ si, y sólo si, es abierto en ${\displaystyle X}$.
• Si ${\displaystyle Y}$ es un subespacio cerrado de ${\displaystyle X}$, un conjunto ${\displaystyle U'\subseteq Y}$ es cerrado en ${\displaystyle Y}$ si, y sólo si, es cerrado en ${\displaystyle X}$.

Una propiedad topológica ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ se dice que es hereditaria si los subespacios de un espacio topológico que cumple ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ también cumplen ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

Ejemplos de propiedades que son hereditarias:[2]

• Los axiomas de separación T₀, T₁ y T₂ (Hausdorff).
• El primer y segundo axioma de numerabilidad.
• Ser metrizable.

La compacidad y la propiedad de ser normal son ejemplos de propiedades no hereditarias. Los subespacios abiertos heredan la separabilidad y los subespacios cerrados heredan la propiedad de ser de Lindelöf.

• Espacio topológico
• Topología
• Espacio de Hausdorff
• Conjunto abierto
• Funciones abiertas y cerradas

• Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
• Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

• The subspace topology, a Metric and Topological Spaces. (en inglés)
• Ejemplos de subespacios en Topología inducida (subespacio)