Función continua

Definición de continuidad en un punto

Una función f es continua en un punto x₀ que pertenezca al dominio de la función.

si:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\;}$

tal que para toda x perteneciente al dominio de la función

${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }$

Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera; si x₀ es punto del dominio de la función que es punto de acumulación del mismo, entonces f es continua en x₀ si y solo si ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$.Cuando x₀ es un punto del dominio que no es de acumulación del mismo, es decir, es punto aislado del dominio, se cumple trivialmente la definición, luego toda función es continua en los puntos aislados de su dominio. Por ejemplo, las sucesiones de números reales son un caso de función real de variable real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Como todos los puntos del dominio de una sucesión son puntos aislados del mismo, se concluye que toda sucesión es una función continua. Por otro lado, no tiene sentido hablar de si una función es o no continua en un punto que no pertenezca al dominio de la misma. Por ejemplo, la función f(x)=1/x es continua en todos los puntos de su dominio (obsérvese que cero no está en el dominio de la función). En cero, como no está en el dominio, no podemos hablar ni de si es continua ni de si no lo es puesto que la definición de continuidad en un punto y, por tanto, la posibilidad de decidir sobre si una función es o no continua en dicho punto, parte de un punto del dominio de la función antes de definir la continuidad en el mismo. No olvidemos que el dominio de una función no tiene por qué ser un intervalo. Por ejemplo, el dominio de la función ${\displaystyle f(x)={\sqrt {\cos(2\pi x)-1}}}$ es ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, el conjunto de los números enteros.

OBSERVACIÓN:
En el caso de aplicaciones de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en ${\displaystyle \mathbb {R} }$, es común ver que se dice que una función ${\displaystyle f}$ es continua en un punto x₁ si existe f (x₁), si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x₁ por la derecha, si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x₁ por la izquierda, y además ambos coinciden con f (x₁). Esto implicaría que, dada una función, si no está definida en un punto, ésta no es continua en él, llegando a una situación como la siguiente: La función ${\displaystyle f:(0,1)\longrightarrow \mathbb {R} }$ definida como ${\displaystyle f(x)=x}$ no es continua en 0 porque no está definida en dicho punto, pero tampoco es continua en 3 ni en 5. Esta definición, no satisfactoria, de continuidad está muy extendida, pero hay que recordar el requisito indispensable para poder hablar de continuidad de que el punto en el que se estudia la continuidad pertenezca al dominio. Si no está en el dominio, pero es punto de acumulación del mismo, podemos hablar de si puede o no extenderse con continuidad a dicho punto, pero no podemos decir que la función es discontinua en dicho punto (la función extendida sí podría ser discontinua, puesto que al incorporar dicho punto al dominio, tiene sentido plantearse el estudio de la continuidad en él).

Así pues, una función f continua en un punto de su dominio x₁ que, además, es punto de acumulación del mismo, implica lo siguiente:

${\displaystyle {\color {Blue}(7)}\;f(x_{1})=L_{(x_{1})}\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(5)}\;L_{(x_{1})}=L_{(x_{1})}^{+}=L_{(x_{1})}^{-}\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(3)}\;\exists \;L_{(x_{1})}^{+}\land \exists \;L_{(x_{1})}^{-}\;\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(1)}\;\exists \;L_{(x_{1})}^{+}={\displaystyle \lim _{x\to {x_{1}}^{+}}f(x)}\\\\{\color {Blue}(2)}\;\exists \;L_{(x_{1})}^{-}={\displaystyle \lim _{x\to {x_{1}}^{-}}f(x)}\end{array}}\right.\\{\color {Blue}(4)}\;L_{(x_{1})}^{+}=L_{(x_{1})}^{-}\end{array}}\right.\\{\color {Blue}(6)}\;\exists f(x_{1})\end{array}}\right.}$

1. Existe el límite por la derecha:

${\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)\in \mathbb {R} }$

2. Existe el límite por la izquierda:

${\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)\in \mathbb {R} }$

3. El límite por la derecha y el límite por la izquierda coinciden:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)}$

4. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)}$

5. Existe f(x₁):

${\displaystyle \exists f(x_{1})}$

6. El límite y el valor de la función coinciden:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}}f(x)=f(x_{1})}$

Se dice que una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

Si f(x₁)= y₁, la continuidad en x₁ se expresa así:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}}f(x)=y_{1}}$

parafraseando, cuando x se aproxima a x₁, f(x) se aproxima a y₁. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y₁, existe un intervalo abierto I, centrado en x₁, tal que ${\displaystyle f(I)\in J}$.

Si f no es continua en un punto, el teorema cae en falta. En efecto, no todo intervalo I alrededor de x₁ tiene su imagen en un intervalo J centrado en y₁, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x₁ que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y₂, siendo y₁ y y₂ valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

La ventaja de esta definición es que se puede generalizar a cualquier espacio topológico.

Una función ${\displaystyle f}$ es continua por la izquierda en el punto ${\displaystyle x_{1}}$ si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=f(x_{1})}$

como en la figura.

Una función ${\displaystyle f}$ es continua por la derecha en el punto ${\displaystyle x_{1}}$ si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)=f(x_{1})}$

Una función ${\displaystyle f}$ es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)=f(x_{1})}$

Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

${\displaystyle a<c<b\;}$

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

${\displaystyle \forall c\in I=(a,b):\quad \lim _{x\to c}f(x)=f(c)}$

Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

${\displaystyle a\leq c\leq b\;}$

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

${\displaystyle \forall c\in I=[a,b]:\quad \lim _{x\to c}f(x)=f(c)\quad \land \quad \lim _{x\to a^{+}}f(x)=f(a)\quad \land \quad \lim _{x\to b^{-}}f(x)=f(b)}$

Las funciones definidas para distintos intervalos de x, pueden ser discontinuas en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:

• La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:

E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su gráfica es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha son diferentes, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.

• Otras funciones definidas por intervalos son:

Función escalón unitario

Función signo

Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como se puede ver, es continua en todo el dominio ${\displaystyle \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)}$ porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario a f(0) la función será discontinua.

Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x=a entonces es continua en x=a. De modo que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad.

Demostración

:${\displaystyle f(x)-f(a)=f(x)-{{f(a)}^{}}^{}}$ ${\displaystyle f(x)-f(a)={\frac {(f(x)-f(a))(x-a)}{(x-a)}}}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {(f(x)-f(a))(x-a)}{(x-a)}}+f(a)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}{\frac {(f(x)-f(a))}{(x-a)}}\lim _{x\to a}(x-a)+\lim _{x\to a}f(a)}$ ${\displaystyle f'(a)\lim _{x\to a}(x-a)+\lim _{x\to a}f(a)=f'(a)\cdot 0+f(a)=f(a)}$

Es importante notar que lo recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso hay funciones continuas en todo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ pero no derivables en ningún punto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1).

Una función ${\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$, se dice que:

• es de clase ${\displaystyle C^{0}(\Omega )\,}$ cuando es continua en todo el dominio ${\displaystyle \Omega }$.
• es de clase ${\displaystyle C^{k}(\Omega )\,}$ si está definida en todo el dominio ${\displaystyle \Omega }$ junto con sus derivadas hasta orden ${\displaystyle k\geq 1}$ y todas ellas son continuas.
• es de clase ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )\,}$ si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Observemos que funciones de este tipo no son necesariamente analíticas.
• Una función es de clase ${\displaystyle C^{-1}(\Omega )\,}$ si es la derivada en el sentido de las distribuciones de una función de clase ${\displaystyle C^{0}(\Omega )\,}$.
• Una función generalizada se dice de clase ${\displaystyle C^{-k}(\Omega )\,}$ si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones de una función de clase ${\displaystyle C^{0}(\Omega )\,}$.

Cualquier función polinómica de una variable es una función de clase ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$. La función generalizada denomiada delta de Dirac es una función de clase ${\displaystyle C^{-2}(\mathbb {R} )\,}$ ya que es la derivada segunda de la función rampa que es continua, y la derivada primera de la función escalón de Heaviside que es de clase ${\displaystyle C^{-1}}$

Se puede dar ejemplos que muestran que hay funciones de clase ${\displaystyle C^{k}(\Omega )\,}$ pero no lo son de clase ${\displaystyle C^{k+1}(\Omega )\,}$. Los ejemplos clásicos son ${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\operatorname {sen}(1/x)}$.

• Serge Lang (1990): Introducción al análisis Matemático , Wilmington Delaware.
• James R. Munkres (2002): Topología, Madrid.
• Demidovich B. P. (1980). "5000 Problemas de Análisis Matemático".