Anexo:Funciones matemáticas

Una función puede venir dada en forma explícita o en forma implícita. Una fórmula explícita tiene la forma:

${\displaystyle y=f(x)\,}$

que permite calcular directamente el valor de y dado el valor de x. Por el contrario una función está en forma implícita si la variable dependiente no está explicitada respecto a la variable independiente, expresándose de la forma:

${\displaystyle f(x,y)=0\;}$

Niels Henrik Abel demostró en 1824, que una función algebraica de grado superior a 4 no puede explicitarse, por eso las funciones implícitas son aquellas que no pueden ser expresadas de forma explícita. Por ejemplo la función:

${\displaystyle y^{5}-2xy^{2}+1=0\;}$

no puede ser expresada de forma explícita:

${\displaystyle y=f(x)\;}$

• Una función es implícita si no puede ser expresada de forma explícita.
• Una función esta en su forma implícita si la variable dependiente no está despejada respecto a la variable independiente.

Una función se dice algebraica si en su formulación solo intervienen las operaciones algebraicas de suma, diferencia, multiplicación, división y potenciación, si una función no es algebraica es trascendente.

Las funciones algebraicas incluyen a las:

• Funciones polinómicas que son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos)

${\displaystyle y=4x^{3}-x\;}$

Como casos particulares de funciones polinómicas se tienen:

Función constante: f(x)= a

Función lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado.

Función cuadrática: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado.

• Funciones fracionales que son cocientes entre dos polinomios, estas funciones se obtienen al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula, por ejemplo:

${\displaystyle y={\frac {3x^{2}-4x+1}{x^{2}-1}}}$

La función raíz n-ésima (léase "raíz ene-ésima") es la función inversa de la función elemental de potenciación. Y en tanto que inversa de un tipo de función elemental la función raíz es también una función elemental. Si en una función, la variable independiente está bajo el signo de radicación, sin poder obtener una expresión de esa misma función en la que no esté, esa función es irracional, por ejemplo:

${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$

Si tenemos la función:

${\displaystyle y={\sqrt {x^{2}+2x+1}}}$

la variable independiente, x, está bajo el signo de radicación, pero podemos ver que:

${\displaystyle y={\sqrt {x^{2}+2x+1}}\rightarrow \quad y={\sqrt {(x+1)^{2}}}\rightarrow \quad y=|x+1|}$

con lo que obtenemos una función no irracional.

Las funciones elementales básicas trascendentes son un conjunto finito de funciones que son usadas en todas las áreas de las matemáticas, física e ingeniería. Estas abarcan:

1. Las Funciones trigonométricas: Seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente.
2. Las funciones trigonométricas inversas: seno inverso, coseno inverso, tangente inversa, cotangente inversa, secante inversa y cosecante inversa.
3. Las Funciones hiperbólicas: seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica.
4. Las funciones hiperbólicas inversas: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólico inverso, cotangente hiperbólico inverso, secante hiperbólica inversa y cosecante hiperbólica inversa;
5. La Función logarítmica
6. La inversa del logaritmo, que correspondería a la Función exponencial.

De este modo son en total seis tipos distintos de funciones y se dicen elementales porque siempre posee la función un argumento sobre el cual operar, mientras que las funciones algebraicas quedan completamente definidas por la variable independiente, coeficientes y potencias.

Las funciones especiales son funciones no elementales definidas ex professo para algunas aplicaciones particulares. Muchas de las funciones especiales son funciones que son soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden de importancia práctica entre estas funciones se encuentran:

• La clase de las funciones hipergeométricas.
• Las funciones elípticas aparecidos por primera vez en conexión a varios problemas físicos relacionados con las oscilaciones del péndulo, aunque también aparecen en muchos otros contextos.
• Las funciones de Bessel y funciones asociadas. Estas funciones aparecen por ejemplo en problemas de separación de variables de ecuaciones que contienen el operador laplaciano expresado en coordenadas cilíndricas.
• Las funciones de Airy.
• Las funciones de Whitaker.

Otras cuantas funciones aparecen como soluciones para problemas de cálculo integral:

• La función de error
• La integral senoidal

Sin embargo no todas las funciones especiales proceden del cálculo diferencial, algunas otras que proceden originalmente de otros contextos son:

• Función W de Lambert
• Función zeta
• Función L