Transformada de Laplace

Comúnmente se denota la transformada de Laplace por ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$ o ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}}$ donde ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ es llamado el operador de la transformada de Laplace.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral, también existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Que en ocasiones suele denotarse por ${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$ en lugar de ${\displaystyle F}$.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\alpha {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\beta {\mathcal {L}}\{g(t)\}}$.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)}$ .....

Si ${\displaystyle u(t)}$ denota la función escalón unitario entonces

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$

En ocasiones es más cómoda la siguiente expresión

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)u(t-a)\}=e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t+a)\}}$

Si ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ entonces

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{(n)}(t)\}(s)=s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)-s^{n-1}f(0)(s)-s^{n-2}f'(0)(s)-\cdots -f^{(n-1)}(0)(s)}$.

donde ${\displaystyle f^{(n)}}$ denota la ${\displaystyle n}$-ésima derivada de ${\displaystyle f}$.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(u)\;du\right\}(s)={\frac {{\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)}{s}}}$

Si ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ entonces

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}(s)=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\;{\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)}$

en particular cuando ${\displaystyle n=1}$ obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{tf(t)\}(s)&=-{\frac {d}{ds}}\;{\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int _{s}^{\infty }{\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)ds={\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}(s)}$

Si ${\displaystyle f(t)}$ es una función periódica con periodo ${\displaystyle T}$ entonces

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)={\frac {1}{1-e^{-sT}}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$

Para ${\displaystyle t_{0}>0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\delta (t-t_{0})\}(s)=e^{-t_{0}s}}$

Se puede establecer una condición suficiente para la convergencia mediante el concepto del orden exponencial.

Se dice que una función ${\displaystyle f}$ es de orden exponencial ${\displaystyle c}$ si existen constantes ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle M>0}$ y ${\displaystyle T>0}$ tales que ${\displaystyle |f(t)|\leq Me^{ct}}$ para todo ${\displaystyle t>T}$.

Por ejemplo, la función ${\displaystyle f(t)=t^{n}}$ puede ser considerada de orden exponencial para cualquier valor positivo de ${\displaystyle c}$, mientras que ${\displaystyle e^{t^{2}}}$ no posee orden exponencial, pues crece con mayor rapidez que cualquier función de la forma ${\displaystyle e^{ct}}$ con ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$.

El teorema consiste en que para toda ${\displaystyle f}$ continua por tramos definida en el intervalo ${\displaystyle [0,\infty )}$ y de orden exponencial ${\displaystyle c}$, se tiene que ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$ existe para ${\displaystyle s>c}$.

De modo que la función ${\displaystyle f(t)=t^{n}}$ posee transformada de Laplace para ${\displaystyle s>0}$ y la existencia de la transformada de Laplace para la función ${\displaystyle e^{t^{2}}}$no está asegurada mediante este teorema.

Sea una función ${\displaystyle f\in \varepsilon }$ derivable a trozos y que ${\displaystyle f^{\prime }\in \varepsilon }$ entonces:

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}}$

${\displaystyle \varepsilon }$ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Sea${\displaystyle f\in \varepsilon }$ una función derivable a trozos tal que ${\displaystyle f^{\prime }\in \varepsilon }$ entonces:

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$

${\displaystyle \varepsilon }$ es funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Partiendo de la propia definición de transformada,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}&=\int _{0}^{\infty }e^{-st}[\alpha f(t)+\beta g(t)]\;dt\\&=\alpha \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\;dt+\beta \int _{0}^{\infty }e^{-st}g(t)\;dt\\&=\alpha {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\beta {\mathcal {L}}\{g(t)\}\end{aligned}}}$

Esta propiedad se obtiene aplicando la definición de transformada y a través del cambio de variable ${\displaystyle u=s-a}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}&=\int _{0}^{\infty }e^{at}f(t)e^{-st}\;dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-(s-a)t}f(t)\;dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-ut}f(t)\;dt\quad {\mbox{al hacer}}\quad u=s-a\\&=F(u)\\&=F(s-a)\end{aligned}}}$

Esta propiedad se demuestra por definición y teniendo en cuenta la definición de la función escalón unitario

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{f(t-a)u(t-a)\}&=\int _{0}^{\infty }f(t-a)u(t-a)e^{-st}dt\\&=\int _{0}^{a}f(t-a)*0*e^{-st}dt+\int _{a}^{\infty }f(t-a)*1*e^{-st}dt\\&=\int _{a}^{\infty }f(t-a)e^{-st}dt\\&=\int _{0}^{\infty }f(u)e^{-s(u+a)}du\quad {\mbox{al hacer }}u=t-a\\&=e^{-as}\int _{0}^{\infty }f(u)e^{-su}du\\&=e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(u)\}\\&=e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t-a)\}\end{aligned}}}$

Sólo se demostrará el caso para ${\displaystyle n=1}$, por definición

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=\int _{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}dt}$

procedemos a utilizar integración por partes, definamos

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=e^{-st}&dv&=f'(t)dt\\du&=-se^{-st}dt&v&=f(t)\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{f'(t)\}&=\int _{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}dt\\&=e^{-st}f(t){\bigg |}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }sf(t)e^{-st}dt\\&=e^{-st}f(t){\bigg |}_{0}^{\infty }+s\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\\&=-f(0)+s{\mathcal {L}}\{f(t)\}\\&=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)\end{aligned}}}$

Para demostrar el caso para cualquier ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ puede utilizarse inducción matemática.

Por definición

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(u)du\right\}&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{t}f(u)e^{-st}dudt\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{u}^{\infty }f(u)e^{-st}dtdu\\&=\int _{0}^{\infty }\left.{\frac {f(u)e^{-st}}{-s}}\right|_{u}^{\infty }du\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(u)e^{-su}}{s}}\;du\\&={\frac {1}{s}}\int _{0}^{\infty }f(u)e^{-su}du\\&={\frac {{\mathcal {L}}\{f(t)\}}{s}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}{\mathcal {L}}\{f(t)\}&=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\;dt\\&=(-1)^{n}\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial s^{n}}}f(t)e^{-st}\;dt\\&=(-1)^{n}\int _{0}^{\infty }(-1)^{n}t^{n}f(t)e^{-st}\;dt\\&=(-1)^{2n}\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)e^{-st}\;dt\\&={\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}\end{aligned}}}$

Considere ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{f(t)}\}=F(\omega )}$, integrando ambos lados de la igualdad desde ${\displaystyle s}$ hasta ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{s}^{\infty }F(\omega )d\omega &=\int _{s}^{\infty }{\mathcal {L}}\{f(t)\}\;d\omega \\&=\int _{s}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\omega t}f(t)\;dt\;d\omega \\&=\int _{0}^{\infty }f(t)\left[\int _{s}^{\infty }e^{-\omega t}d\omega \right]dt\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\;e^{-st}dt\\&={\mathcal {L}}\left\{{\dfrac {f(t)}{t}}\right\}\end{aligned}}}$

Usando la definición de transformada tenemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{f(t)\}&=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\\&=\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}dt+\int _{T}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\end{aligned}}}$

para la segunda integral hagamos el cambio de variable ${\displaystyle t=u+T}$ por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{T}^{\infty }f(t)e^{-st}dt&=\int _{0}^{\infty }f(u+T)e^{-s(u+T)}du\\&=e^{-sT}\int _{0}^{\infty }f(u)e^{-su}du\\&=e^{-sT}{\mathcal {L}}\{f(t)\}\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{f(t)\}&=\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}dt+\int _{T}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\\&=\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}dt+e^{-sT}{\mathcal {L}}\{f(t)\}\\{\mathcal {L}}\{f(t)\}-e^{-sT}{\mathcal {L}}\{f(t)\}&=\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}dt\\{\mathcal {L}}\{f(t)\}\left(1-e^{-sT}\right)&=\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}dt\\{\mathcal {L}}\{f(t)\}&={\frac {1}{1-e^{-sT}}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}dt\end{aligned}}}$

Conociendo previamente la función delta de Dirac, saliendo de la propia definición,

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\delta (t-t_{0})\}=\int _{0}^{\infty }\delta (t-t_{0})e^{-st}dt=e^{-t_{0}s}}$

Por definición calculemos la transformada de Laplace de ${\displaystyle f(t)=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{1\}&=\int _{0}^{\infty }e^{-st}dt\\&=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}e^{-st}dt\\&=\lim _{b\to \infty }{\frac {-e^{-st}}{s}}{\bigg |}_{0}^{b}\\&=\lim _{b\to \infty }\left({\frac {-e^{-sb}+1}{s}}\right)\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}}$

Utilizando el primer teorema de traslación hallemos la transformada de Laplace de ${\displaystyle f(t)=e^{at}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{e^{at}\}&={\mathcal {L}}\{1\}_{s\to s-a}\\&=\left.{\frac {1}{s}}\right|_{s\to s-a}\\&={\frac {1}{s-a}}\end{aligned}}}$

Utilizando la derivada de una transformada hallemos la transformada de Laplace de ${\displaystyle f(t)=te^{3t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{te^{3t}\}&=(-1){\frac {d}{ds}}\;{\mathcal {L}}\{e^{3t}\}\\&=-{\frac {d}{ds}}\left({\frac {1}{s-3}}\right)\\&=-\left({\frac {-1}{(s-3)^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{(s-3)^{2}}}\end{aligned}}}$

Utilizando series hallemos la transformada de Laplace de ${\displaystyle f(t)=\operatorname {sen}(kt)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{\operatorname {sen}(kt)\}&={\mathcal {L}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(kt)^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right\}={\mathcal {L}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{2n+1}t^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right\}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mathcal {L}}\left\{t^{2n+1}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{2n+1}(2n+1)!}{(2n+1)!s^{2n+2}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{2n+1}}{s^{2n+2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{2n}k}{s^{2n}s^{2}}}\\&={\frac {k}{s^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {k^{2}}{s^{2}}}\right)^{n}\end{aligned}}}$

al hacer ${\textstyle x={\frac {k^{2}}{s^{2}}}}$ obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{\operatorname {sen}(kt)\}&={\frac {k}{s^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}={\frac {k}{s^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-x)^{n}\\&={\frac {k}{s^{2}}}\left({\frac {1}{1+x}}\right)={\frac {k}{s^{2}}}\left({\frac {1}{1+{\frac {k^{2}}{s^{2}}}}}\right)\\&={\frac {k}{s^{2}}}\left({\frac {s^{2}}{s^{2}+k^{2}}}\right)={\frac {k}{s^{2}+k^{2}}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\operatorname {sen}(kt)\}={\frac {k}{s^{2}+k^{2}}}}$

Utilizando transformada de una integral hallemos la transformada de Laplace de ${\textstyle f(t)=\int _{0}^{t}u^{100}e^{2u}du}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}u^{100}e^{2u}du\right\}&={\frac {1}{s}}\;{\mathcal {L}}\left\{t^{100}e^{2t}\right\}\\&={\frac {1}{s}}\;{\mathcal {L}}\left\{t^{100}\right\}_{s\to s-2}\\&={\frac {1}{s}}\left({\frac {100!}{s^{101}}}\right)_{s\to s-2}\\&={\frac {100!}{s(s-2)^{101}}}\end{aligned}}}$

• Fernández Rodríguez, César René (2006). Transformada de Laplace y Ecuaciones de Volterra (PDF). Universidad de Santiago de Chile. Consultado el 20 de abril de 2020.
• Ventura García, Gabriel Alberto (4 de marzo de 2010). «Notas sobre transformada» (PDF). Consultado el 20 de abril de 2020.
• Baraniuk, Richard (19 de diciembre de 2013). «La Transformada de Laplace». Consultado el 20 de abril de 2020.
• «Transformada de Laplace». Consultado el 20 de abril de 2020.
• Cánovas Peña, José Salvador (8 de enero de 2008). «Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales». Consultado el 20 de abril de 2020.
• «Transformadas de Laplace de algunas distribuciones relevantes». Consultado el 20 de abril de 2020.

• Esta obra contiene una traducción parcial derivada de «Laplace transsform» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.