Operador diferencial

Supongamos que hay un mapa ${\displaystyle A}$ de un espacio de funciones ${\displaystyle F_{1}}$ a otro espacio de funciones ${\displaystyle F_{2}}$ y una función ${\displaystyle f\in F_{2}}$ de forma que ${\displaystyle f}$ sea la imagen de ${\displaystyle u\in F_{1}}$, es decir, ${\displaystyle f=A(u)}$. Un operador diferencial se representa como una combinación lineal, finitamente generada por y sus derivados que contienen un grado más alto tal como

${\displaystyle P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$

donde el conjunto de enteros no negativos ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$ se llama un multi-índice, ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ se llama longitud, ${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$ son funciones de algún dominio abierto en el espacio n-dimensional y ${\displaystyle D^{\alpha }=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\cdots D_{n}^{\alpha _{n}}}$. La derivada anterior es una como funciones o, a veces, distribuciones o hiperfunciones y ${\displaystyle D_{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$ o a veces, ${\displaystyle D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$.

El uso más común del operador diferencial es realizar la derivada en sí misma. Las notaciones comunes de este operador incluyen:

${\displaystyle {d \over dx},\quad D_{x},\quad D\,}$

Las dos primeras se usan fundamentalmente cuando se quiere hacer explícita la variable respecto a la cual se toman las derivadas ordinarias, la última forma sólo se usa cuando por el contexto está claro cuál es la variable respecto a la que se deriva (sin necesidad de explicitarla). Las primeras derivadas se toman como arriba, pero para las derivadas de orden superior, las n-ésimas, son útiles los siguientes cambios:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}u,{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}u,...}$

${\displaystyle u'',u''',...}$

${\displaystyle {\ddot {u}},{\overset {...}{u}},...}$

Otro operador diferencial es el operador Θ, o operador theta, definido por

${\displaystyle \Theta =z{\frac {d}{dz}}}$

Esto a veces también se llama el operador de homogeneidad, porque sus funciones propias son los monomios en z:

${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},k=0,1,2,...}$

En n variables el operador de homogeneidad está dado por

${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\eth }{\eth x_{k}}}}$

Como en una variable, los de Θ son los espacios de polinomios homogéneos.

• La diferenciación es lineal, i.e.

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),\qquad D(af)=a(Df)}$

en donde f y g son funciones y a es una constante.

• Cualquier polinomio en D con funciones como coeficientes es también un operador diferencial. También se pueden componer operadores diferenciales con la regla

${\displaystyle D_{1}\circ D_{2}(f)=D_{1}(D_{2}(f))}$

• Esta última propiedad dota al conjunto de los operadores lineales, sobre un cierto espacio de funciones reales, de estructura de espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y de módulo izquierdo sobre el mismo conjunto de funciones. Eso último implica a su vez que el conjunto de operadores constituyen un álgebra asociativa.

• Se requiere de algo de cuidado: primero, cualesquiera coeficientes de función en el operador D₂ deben ser diferenciables tantas veces como requiera la aplicación de D₁. Para obtener un anillo de dichos operadores se debe suponer que se utilizan derivadas de todos los órdenes. Segundo, este anillo no debe ser conmutativo: un operador gD no es el mismo en general que Dg. De hecho se tiene por ejemplo la relación básica en mecánica cuántica: Dx − xD = 1.

• El subanillo de operadores que son polinomios en D con coeficientes constantes es, en contraste, conmutativo. Puede ser caracterizado de otra forma: consiste en los operadores de traslación invariantes.

El operador diferencial del, también llamado operador nabla, es un importante operador diferencial vectorial. Aparece frecuentemente en la física en lugares como la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell. En coordenadas cartesianas tridimensionales, del se define:

${\displaystyle \nabla ={\widehat {x}}{\frac {\eth }{\eth x}}+{\widehat {y}}{\frac {\eth }{\eth y}}+{\widehat {z}}{\frac {\eth }{\eth z}}}$

Del se utiliza para calcular el gradiente de campos escalares; el rotacional y la divergencia de campos vectoriales; y el Laplaciano tanto de campos escalares como de campos vectoriales.

Análogamente al caso de una variable, cuando se consideran derivadas respecto a variables diferentes las derivadas parciales pueden escribirse como:

${\displaystyle {\partial \over \partial x_{i}}=\partial _{x_{i}}=\partial _{i},\qquad {\partial ^{n} \over \partial x_{i_{1}}\dots \partial x_{i_{n}}}=\partial _{x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{n}}}^{n}=\partial _{i_{1},\dots ,i_{n}}^{n}}$

Además con derivadas parciales, se pueden hacer las mismas construcciones que en el caso de una variable. La derivación con respecto a variables distintas da como lugar a operadores que conmutan (ver teorema de Clairaut).

Un operador lineal en derivadas parciales de orden n tiene la forma:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{k=0}^{n}a_{i_{1}\dots i_{k}}(x)\partial _{i_{1}\dots i_{k}}^{k}(\cdot )}$

Uno de los operadores diferenciales que se ve con más frecuencia es el operador laplaciano, que en coordenadas cartesianas se expresa

${\displaystyle \Delta =\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}=\nabla ^{2}}$

Si Ω es un dominio en Rn y P un operador diferencial en Ω, entonces el adjunto de P se define en L2 (Ω) por la dualidad de la manera análoga:

Para todas las funciones L2 suaves f, g. Como las funciones suaves son densas en L2, esto define el adjunto en un subconjunto denso de L2: P * es un operador densamente definido.

En geometría diferencial y geometría algebraica a menudo es conveniente tener una descripción independiente de coordenadas de operadores diferenciales entre dos haces vectoriales. Sea E y F dos haces vectoriales sobre un múltiple diferenciable M. Se dice que un mapeo R-lineal de secciones P: Γ (E) → Γ (F) es un operador diferencial lineal de orden k si factoriza a través del haz de chorro Jk (E). En otras palabras, existe un mapeo lineal de haces vectoriales

${\displaystyle ip:J^{k}(E)\longrightarrow F}$

Tal que

${\displaystyle P=ipoj^{k}}$

Donde jk: Γ (E) → Γ (Jk (E)) es la prolongación que se asocia a cualquier sección de E su k-jet.

Esto sólo significa que para una sección dada de E, el valor de P (s) en un punto x ∈ M está completamente determinado por el comportamiento infinitesimal de orden k de s en x. En particular, esto implica que P (s) (x) está determinada por el germen de s en x, que se expresa diciendo que los operadores diferenciales son locales. Un resultado fundamental es el teorema de Peetre que muestra que lo contrario también es cierto: cualquier operador local (lineal) es diferencial.

• En aplicaciones a las ciencias físicas, los operadores como el operador de Laplace juegan un importante papel para escribir y solucionar ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
• La divergencia es un operador diferencial es un operador lineal en el espacio de vectorial de funciones ${\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$ constituye un endomorfismo lineal.
• El gradiente es un operador diferencial es un operador lineal del espacio de vectorial de funciones ${\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$ en ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{n})}$.
• En la geometría diferencial los operadores de derivada exterior y derivada de Lie tienen un significado intrínseco.
• En álgebra abstracta el concepto de derivación significa que los operadores diferenciales pueden seguir definidos, aún en ausencia de los conceptos de cálculo basados en la geometría.

• Derivada
• Operador lineal