Funciones de parte entera

La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero y no inferior a x:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}{\text{techo}}:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {Z} \\&x&\to &y={\text{techo}}(x)\end{array}}}$

Definida:

${\displaystyle {\text{techo}}(x)=\lceil x\rceil =\min\{k\in \mathbb {Z} \mid x\leq k\}}$

O de otra forma:

${\displaystyle y=\lceil x\rceil$ :\quad y={\big \{}y:\quad y\in \mathbb {Z} \quad \land \quad x\in \mathbb {R} \quad \land \quad y-1<x\leq y{\big \}}}

Se conoce también como función mínimo entero[1] o como función entero menor (que es mayor o igual que x)[2]. Precaución: Algunas publicaciones le llaman "función entero mayor" debido a que devuelve el entero mayor o igual que x.[3]

La función suelo se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero y no superior a x cuyo conjunto de partida (dominio) y conjunto de llegada (rango) son:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}{\text{suelo}}:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {Z} \\&x&\to &y={\text{suelo}}(x)\end{array}}}$

y se define como:

${\displaystyle {\text{suelo}}(x)=\lfloor x\rfloor =\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\}}$

También se puede expresar como:

${\displaystyle y={\text{suelo}}(x):\quad y=\lfloor x\rfloor$ :\quad y={\big \{}y:\quad y\in \mathbb {Z} \quad \land \quad x\in \mathbb {R} \quad \land \quad y\leq x<y+1{\big \}}}

Se conoce también como función máximo entero[5] o como función entero mayor (que es menor o igual que x)[6]. Precaución: Algunas publicaciones le llaman "función entero menor" debido a que devuelve el entero menor o igual que x.[3]

La función parte entera en el lenguaje de programación C es el resultado de truncar el valor real, eliminando su parte decimal. Se puede definir a partir de las funciones piso[8] y techo,[9] de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}{\text{int}}:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {Z} \\&x&\to &y={\text{int}}(x)\end{array}}}$

definida de esta forma:

${\displaystyle \operatorname {int} (x)=[x]=\left\{{\begin{array}{ccl}\lceil ~x\rceil &{\text{si}}&x<0\\\lfloor ~x\rfloor &{\text{si}}&x\geq 0\end{array}}\right.}$

Se utiliza mediante el operador (int) para truncar el valor de variables del tipo float o double.

La función redondeo asigna a cada x número real un y número entero siendo y el valor más próximo a x.

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}{\text{redon}}:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {Z} \\&x&\to &y={\text{redon}}(x)\end{array}}}$

si la primera cifra decimal es 5 o mayor el redondeo se hace por exceso, si la primera cifra decimal es inferior a 5 el redondeo se hace por defecto.

Se puede comprobar la siguiente igualdad:

${\displaystyle {\text{redon}}(x)=\left\{{\begin{array}{ccl}\lceil x-0.5\rceil &{\text{si}}&x<0\\\lfloor x+0.5\rfloor &{\text{si}}&x\geq 0\end{array}}\right.}$

La función piso no es continua, y por lo tanto no tiene un expansión en serie de Taylor; como no es periódica, tampoco tiene una expansión en serie de Fourier. Sin embargo, la función ${\displaystyle \{x\}:=x-\lfloor x\rfloor }$, llamada función de parte decimal, fraccionaria o función mantisa, es periódica,[10] y por lo tanto tiene una expansión en serie de Fourier, que es:

${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}$ si x no es un número entero.

Usando la expresión ${\displaystyle \{x\}:=x-\lfloor x\rfloor }$ podemos saber la expansión de la función ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}$

Teniendo en cuenta que: ${\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }$, entonces la expansión de serie de la función techo sería:

${\displaystyle \lceil x\rceil =x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}$

Y por último, para la función truncamiento, se utiliza la siguiente expresión ${\displaystyle {\mbox{int}}(x)={\big \lfloor }|x|{\big \rfloor }{\text{sgn}}(x)}$; entonces quedaría:

${\displaystyle {\mbox{int}}(x)=x-{\frac {\sin(x)}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}$

• Función continua
• Representación de números con signo
• Función definida a trozos
• Función escalón de Heaviside
• Función rectangular
• Función escalonada
• Función identidad
• Función signo
• Valor absoluto
• Función rampa
• Parte fraccionaria
• Mantisa

• Weisstein, Eric W. «Floor Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Ceiling Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic.