Función error

La función error es una función integral, no tiene singularidades y su expansión en serie de Taylor siempre converge pero esta es conocida porque tiene “mala convergencia” para valores ${\displaystyle x>1}$.

La integral definida no puede ser evaluada en forma cerrada en términos de funciones elementales, pero si se expande el integrando ${\displaystyle e^{-z^{2}}}$ mediante una serie de Maclaurin e integrando término a término, se obtiene la serie de Maclaurin de la función error:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}$

esta expresión válida para todo número ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. Los términos del denominador son la secuencia A007680 en el OEIS.

Para realizar cálculos iterativos de la serie mencionada, la siguiente fórmula alternativa puede ser útil:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}}$

porque ${\displaystyle {\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}}$ expresa el multiplicador necesario para que el ${\displaystyle k}$-ésimo término se convierta en el ${\displaystyle (k+1)}$-ésimo término (suponiendo que el número ${\displaystyle z}$ es el primer término).

La función error imaginaria tiene una serie de Maclaurin similar, esta es

${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)}$

y es válida para todo número ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$.

La función error evaluada en más infinito tiene el valor de 1, exactamente (ver integral de Gauss). En menos infinito, tiene el valor de -1.

La derivada de la función error se obtiene directamente a partir de su definición:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}.}$

Las derivadas de orden superior están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} ^{\;(k)}(z)&={{2(-1)^{k-1}} \over {\sqrt {\pi }}}H_{k-1}(z)e^{-z^{2}}\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {d^{k-1}}{dz^{k-1}}}\left(e^{-z^{2}}\right)\end{aligned}}}$

para ${\displaystyle k=1,2,\dots }$, donde ${\displaystyle H}$ son los polinomios de Hermite empleados en la teoría de la probabilidad.[2]

La serie de Bürmann es una serie[3] que converge más rápido para todos los valores ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ que la serie de Taylor ordinaria, y que se obtiene utilizando el teorema de Hans Heinrich Bürmann:[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{4}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-kx^{2}}\right).\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ es la función signo. Manteniendo sólo los dos primeros coeficientes y escogiendo ${\displaystyle c_{1}={\frac {31}{200}}}$ y ${\displaystyle c_{2}=-{\frac {341}{8000}},}$ la aproximación resultante tiene un error relativo máximo para ${\displaystyle x=\pm 1,3796,}$ donde dicho error es menor que ${\displaystyle 3,6127\cdot 10^{-3}}$:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}\right).}$

Dado un número complejo ${\displaystyle z}$, no existe un único número complejo ${\displaystyle w}$ que satisfaga ${\displaystyle \operatorname {erf} (w)=z}$, sin embargo, para ${\displaystyle -1<x<1}$, existe un único número real denotado por ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)}$ que satisface

${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}(x)\right)=x}$

La función error inversa típicamente está definida en el dominio ${\displaystyle (-1,1)}$ aunque puede ser extendida al disco ${\displaystyle |z|<1}$ del plano complejo utilizando la serie de Maclaurin

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},\,\!}$

donde ${\displaystyle c_{0}=1}$ y

${\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.}$

Por lo que se tiene la siguiente expansión en serie (nótese que se han cancelado los factores comunes en los numeradores y denominadores):

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi }{12}}x^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}x^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}x^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}x^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}x^{11}+\cdots \right).\,\!}$

(Después de cancelar las fracciones en el numerador y denominador corresponde a las entradas A092676/A132467 en el OEIS; si no se realiza la cancelación los términos del numerador corresponden a la entrada A002067).

La función error complementaria inversa está definida como

${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z)}$

Para un número real ${\displaystyle x}$, el método de Newton puede ser usado para calcular ${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$ y para ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$, la siguiente serie de Maclaurin converge

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {{\sqrt {\pi }}z}{2}}\right)^{2k+1}}$

donde ${\displaystyle c_{k}}$ está definido arriba.

Gráfica de la función error complementaria

Un serie asintótica útil de la función error complementaria (y por lo tanto también de la función error) para valores grandes de ${\displaystyle x}$ es

${\displaystyle \mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}.\,}$

Esta serie diverge para todo valor de ${\displaystyle x}$ finito y su significado de expansión asintótica es que para cualquier ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}+R_{N}(x).\,}$

donde el residuo, en la notación de Landau, es

${\displaystyle R_{N}(x)=O\left(x^{1-2N}e^{-x^{2}}\right)}$

cuando ${\displaystyle x\to \infty }$.

El valor exacto del residuo es

${\displaystyle R_{N}(x)={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}dt}$

Otra aproximación es:

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{2}(x)\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}$

donde

${\displaystyle a=-{\frac {8(\pi -3)}{3\pi (\pi -4)}}.}$

Nótese que esta aproximación siempre devuelve valores positivos, cuando la función error toma valores negativos ante entradas negativas. Esta singularidad se puede resolver de manera simple aplicando el signo de x al resultado final. (x/abs(x))

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {erf} (ax+b){\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dx=\operatorname {erf} \left({\frac {a\mu +b}{\sqrt {1+2a^{2}\sigma ^{2}}}}\right)}$

con ${\displaystyle a,b,\mu ,\sigma \in \mathbb {R} }$.

La función error es idéntica a la función de distribución de una normal estándar, denotada por ${\displaystyle \Phi }$, su única diferencia es su escala y una traslación pues

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\frac {-t^{2}}{2}}dt={\frac {1}{2}}\left[1+{\mbox{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,{\mbox{erfc}}\left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

A la inversa de ${\displaystyle \Phi }$ se la conoce como la función quantil normal o función probit y puede ser expresada en términos de la función error inversa como

${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\,\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$

La cdf normal estándar es utilizada más a menudo en probabilidad y estadística, mientras que la función error es utilizada con mayor frecuencia en otras ramas de las matemáticas.

La función error es un caso especial de la función de Mittag-Leffler, y puede ser expresada como una función hipergeométrica confluyente (función de Kummer):

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

Posee una expresión relativamente simple mediante la integral de Fresnel. En términos de la función gamma regularizada P y la función gamma incompleta,

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=\operatorname {sgn} (x)P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sgn} (x) \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right).}$

${\displaystyle \operatorname {sgn} (x)\ }$ es la función signo.

Gráfica de las funciones error generalizadas E_n(x):
curva gris: E₁(x) = (1 − e ^−x)/${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$
curva roja: E₂(x) = erf(x)
curva verde: E₃(x)
curva azul: E₄(x)
curva amarilla: E₅(x)

Algunos autores han analizado funciones más generales del tipo

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.}$

Algunos casos destacables son:

• E₀(x) es una línea recta que pasa por el origen: ${\displaystyle E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}}$
• E₂(x) es la función error, erf(x).

Si se divide por n!, todas las E_n para n impares son similares entre sí (aunque no idénticas). En forma similar, las E_n para n pares luego de dividirlas por n! son similares entre sí (aunque no idénticas). Todas las funciones error generalizadas para n>0 son similares para x positivas.

Estas funciones generalizadas para x>0 pueden ser expresadas en forma equivalente mediante la función Gamma:

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {x\left(x^{n}\right)^{-1/n}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0}$

Por lo tanto, se puede definir a la función error mediante la función gamma mediante la siguiente expresión:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}}$

Las integrales iteradas de la función error complementaria se definen como

${\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\int _{z}^{\infty }\mathrm {i} ^{n-1}\operatorname {erfc} \,(\zeta )\;\mathrm {d} \zeta .\,}$

La fórmula general de recurrencia es

${\displaystyle 2ni^{n}\operatorname {erfc} (z)=i^{n-2}\operatorname {erfc} (z)-2zi^{n-1}\operatorname {erfc} (z)}$

Poseen la siguiente serie de potencias

${\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,,}$

de las que se deducen las siguientes propiedades de simetría

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} (-z)=-\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$

y

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} (-z)=\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,.}$